Задачи, стр. 69 // Архив журнала «Квант»

Задача М640
Число $x\in[0;1]$‍‍ записано в виде бесконечной десятичной дроби. Переставив её первые 5 цифр после запятой в произвольном порядке, получим новую бесконечную десятичную дробь, отвечающую некоторому числу $x_1$‍.‍ Переставив в десятичной записи числа $x_1$‍‍ цифры со 2-й…
Задача М641
Дан правильный шестиугольник $ABCDEF$‍‍ с центром $O$‍.‍ Точки $M$‍‍ и $N$‍‍ — середины сторон $CD$‍‍ и $DE$‍.‍ Прямые $AM$‍‍ и $BN$‍‍ пересекаются в точке $L$‍.‍ Докажите, что:
Задача М642
Докажите, что каждое натуральное число представляется в виде $a_0+2a_1+2^2a_2+\ldots+2^na_n$‍,‍ где каждое из чисел $a_k=0$‍,‍ $-1$‍‍ или 1 и $a_k\cdot a_{k+1}=0$‍‍ для всех $0\le k\le n-1$‍,‍ причём такое представление единственно.
Задача М643
Карточки с числами 1, 2, $\ldots$‍,‍ 32 сложены в стопку по порядку. Разрешается снять сверху любое число карточек и вложить их между некоторыми из оставшихся или под ними, не меняя порядка тех и других, а в остальном произвольно.

Эта операция называется…
Задача М644
1. Докажите, что существует выпуклый 1980-угольник со сторонами длины 1, 2, $\ldots$‍,‍ 1980, все углы которого равны по величине.
2. Существует ли такой 1981-угольник?
Задача М645
В подвале три коридора (рисунок 1: $|OA|=|OB|=|OC|=l$‍),‍ все выходы из которых закрыты. В нём находятся инспектор Варнике и преступник. Варнике замечает преступника, если расстояние между ними не превосходит $r$‍.‍ Он знает, что максимальная скорость преступника в два раза меньше его…
Задача М646
От точки $O$‍‍ на плоскости отложены $2n$‍‍ векторов длины 1. Они раскрашены попеременно в красный и синий цвета. Пусть $\overrightarrow{s}$‍‍ — сумма $n$‍‍ красных векторов, $\overrightarrow{r}$‍‍ — сумма $n$‍‍ синих векторов. Докажите,…
Задача М647
Докажите, что при любых $a\ge\dfrac12$‍,‍ $b\ge\dfrac12$‍‍ справедливо неравенство $$ \left(\dfrac{a^2-b^2}{2}\right)^2\ge\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}-\dfrac{a+b}{2}. $$
Задача М648
Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то середины его сторон и основания перпендикуляров, опущенных из точки пересечения его диагоналей на стороны, лежат на одной окружности.
Задача М649
Доказать равенство $$ c_n^2+(c_n-c_1)^2+(c_n-c_2)^2+\ldots+(c_n-c_{n-1})^2=\dfrac{n}{2}, $$ где $c_1=1$‍,‍ $c_2=1+\dfrac13$‍,‍ $c_3=1+\dfrac13+\dfrac15$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $c_n=1+\dfrac13+\dfrac15+\ldots+\dfrac{1}{2n-1}$‍.‍

Задачник «Кванта»‍1464