«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Докажите, что периметр любого сечения треугольной пирамиды плоскостью не превосходит наибольшего из периметров её граней.
Можно ли числа 1, 2, $\ldots$, 30 разбить на группы
так, чтобы суммы чисел во всех группах были одинаковыми?
Внутри треугольника расположены окружности $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ одинакового радиуса так, что каждая из окружностей $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ касается двух сторон треугольника и окружности $\delta$…
Докажите, что если для вписанного четырёхугольника $ABCD$ выполнено равенство $|CD|=|AD|+|BC|$, то биссектрисы его углов $A$ и $B$ пересекаются на стороне $CD$.
Пусть $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ — действительные числа такие, что $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=1$. Докажите, что сумма модулей $2^n$ чисел $$ \pm x_1 \pm x_2 \pm \ldots \pm x_n $$ (со всевозможными комбинациями знаков «$+$» и «$-$») не…
Вокруг окружности описан $n$—угольник. Произвольная точка $P$ внутри окружности соединена со всеми его вершинами и точками касания. Образовавшиеся $2n$ треугольников окрашены попеременно в красный и синий цвет. Докажите, что произведение площадей…
Докажите, что количество решений уравнения $$ x^3+y^2=z^3+t^2+1 $$ в натуральных числах, не превосходящих $10^6$, меньше, чем количество решений уравнения $$ x^3+y^2=z^3+t^2 $$ в натуральных числах, не превосходящих $10^6$.
Найдите последовательность $(a_n)$, определяемую условиями $a_1=1$, $$ 1+\textstyle\sum\limits_d{}(-1)^{n/d}a_{d}=0, \tag{*} $$ где сумма $\sum$ берётся по всем делителям $d$ числа $n$ (включая $d=1$ и $d=n$).
Например, если…