«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Докажите, что периметр любого сечения треугольной пирамиды плоскостью не превосходит наибольшего из периметров её граней.
Пока вы решали задачи из «Кванта», картошка, которая варилась на плите, сварилась, вода выкипела и кастрюля изнутри пригорела. Куда надо лить холодную воду, чтобы нагар легче отскочил — внутрь кастрюли или на её внешнюю поверхность?
Можно ли числа 1, 2, $\ldots$, 30 разбить на группы
так, чтобы суммы чисел во всех группах были одинаковыми?
Внутри треугольника расположены окружности $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ одинакового радиуса так, что каждая из окружностей $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ касается двух сторон треугольника и окружности $\delta$…
Докажите, что если для вписанного четырёхугольника $ABCD$ выполнено равенство $|CD|=|AD|+|BC|$, то биссектрисы его углов $A$ и $B$ пересекаются на стороне $CD$.
Пусть $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ — действительные числа такие, что $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=1$. Докажите, что сумма модулей $2^n$ чисел $$ \pm x_1 \pm x_2 \pm \ldots \pm x_n $$ (со всевозможными комбинациями знаков «$+$» и «$-$») не…
Вокруг окружности описан $n$—угольник. Произвольная точка $P$ внутри окружности соединена со всеми его вершинами и точками касания. Образовавшиеся $2n$ треугольников окрашены попеременно в красный и синий цвет. Докажите, что произведение площадей…
Докажите, что количество решений уравнения $$ x^3+y^2=z^3+t^2+1 $$ в натуральных числах, не превосходящих $10^6$, меньше, чем количество решений уравнения $$ x^3+y^2=z^3+t^2 $$ в натуральных числах, не превосходящих $10^6$.