Задача М603‍‍‍

Умножим первое уравнение системы на $y$‍,‍ второе — на $x$‍‍ и сложим эти два уравнения. Получим $$ 2xy+\dfrac{(3x-y)y-(x+3y)x}{x^2+y^2}=3y $$ или $$ 2xy-1=3y. $$ Отсюда $y\ne0$‍.‍ Поэтому $$ x=\dfrac32+\dfrac1{2y}. $$ Подставим полученное соотношение во второе уравнение исходной системы; получим $$ y\left[\left(\dfrac32+\dfrac1{2y}\right)^2+y^2\right]-\left(\dfrac32+\dfrac1{2y}\right)-3y=0 $$ или $$ 4y^4-3y^2-1=0, $$ откуда $y^2=1$‍,‍ т. е. $y_1=1$‍,‍ $y_2=-1$‍,‍ $x_1=2$‍,‍ $x_2=1$‍.‍