Докажите, что в любом треугольнике $ABC$ середина стороны $BC$ лежит на отрезке, соединяющем точку пересечения высот треугольника $ABC$ с точкой окружности, описанной около этого треугольника, диаметрально противоположной вершине $A$, и делит этот отрезок пополам.
Пусть $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$, $A'$ — точка описанной окружности, диаметрально противоположная вершине $A$ (рис. 1). Соединим точку $A'$ с вершинами $B$ и $C$. Треугольники $ABA'$ и $ACA'$ — прямоугольные (углы при вершинах $B$ и $C$ опираются на диаметр), а потому $[A'B]\parallel[CH]$ и $[AC]\parallel[BH]$. Значит, четырёхугольник $BA'CH$ — параллелограмм. Его диагонали $[BC]$ и $[A'H]$ в точке пересечения делятся пополам, откуда и следует утверждение задачи.
Рис. 1Рис. 2
Итак, мы доказали, что точка $A'$, симметричная точке $H$ относительно середины стороны $BC$, лежит на описанной окружности. Заметим, что точка $A^*$, симметричная точке $H$ относительно прямой $BC$, также лежит на описанной окружности — это проекция точки $A'$ на продолжение высоты $AH$ (рис. 2). Аналогично можно построить точки $B'$ и $B^*$, $C'$ и $C^*$. Образ описанной около треугольника $ABC$ окружности при гомотетии с центром $H$ и коэффициентом $\dfrac12$ — это знаменитая «окружность Эйлера», или «окружность девяти точек» (имеются в виду образы точек $A$, $B$, $C$, $A'$, $B'$, $C'$, $A^*$, $B^*$, $C^*$) треугольника $ABC$ («Квант», 1979, №8).
