«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Найти $x$ и $y$ из системы уравнений $$ \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x-y\sqrt{x^2-y^2}}{\sqrt{1-x^2+y^2}}=a,\\ \dfrac{y-x\sqrt{x^2-y^2}}{\sqrt{1-x^2+y^2}}=b \end{array}\right. $$ ($a$ и $b$ — данные числа).
Докажите, что для любых чисел $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$, принадлежащих отрезку $[0; 1]$, выполнено неравенство $$ (x_1+x_2+\ldots+x_n+1)^2 \ge 4(x_1^2 + x_2^2+\ldots+x_n^2). $$
В парламенте у каждого его члена не более трёх врагов. Докажите, что парламент можно разбить на две палаты так, что у каждого парламентария в одной с ним палате будет не более одного врага. (Считается, что если $A$ — враг $B$, то $B$ — враг…
В окружность с центром $O$ вписан четырёхугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями. Докажите, что расстояние от точки $O$ до каждой его стороны равно половине длины противоположной стороны.
Рассматриваются наборы камней, масса каждого из которых не больше $2~\text{кг}$, а общая масса набора — $50~\text{кг}$. Из такого набора выбирается несколько камней, суммарная масса которых отличается от $10~\text{кг}$ на наименьшее возможное для данного набора число…
Можно ли представить всё пространство в виде объединения прямых, каждые две из которых — скрещивающиеся (то есть не лежат в одной плоскости)?
На химической конференции присутствовало $N$ учёных — химиков и алхимиков, причём химиков было больше, чем алхимиков. Известно, что на любой вопрос химики отвечают правду, а алхимики иногда говорят правду, иногда — лгут. Оказавшийся на конференции математик про каждого учёного…
Представьте себе, что вы находитесь в жарко натопленной бане, а за окном — мороз. Куда повалит пар, если вы откроете форточку?
В треугольнике $ABC$, у которого $\widehat B=60^\circ$, провели биссектрисы $AD$ и $CE$, пересекающиеся в точке $O$. Докажите, что $|OD|=|OE|$.