Задача М599‍‍

Вначале докажем индукцией по $n$‍‍ следующее утверждение: при любом натуральном $a\gt2$‍‍ и любом натуральном $b$‍‍ $$ (a+1)^{a^n}=1+k_na^{n+1},\tag1 $$ где $k_n$‍‍ — натуральное число, не делящееся на $a$‍‍ (т. е. $(a+1)^{a^n}-1$‍‍ делится на $a^{n+1}$‍‍ и не делится на $a^{n+2}$‍),‍ и $$ (b-1)^{b^n}=-1+l_nb^{n+1},\tag2 $$ где $l_n$‍‍ — натуральное число, не делящееся на $b$‍.‍

При $n=0$‍‍ это очевидно, а переход от $n$‍‍ к $n+1$‍‍ ocyществляется с помощью формулы Ньютона. Сделаем это для (1): $$ (a+1)^{a^{n+1}}=[(a+1)^{a^n}]^a=(1+k_na^{n+1})^a= 1+ak_na^{n+1}+a^{2n+2}(k_n^2C_a^2+\ldots)=1+k_{n+1}a^{n+2}, $$ где $k_{n+1}=k_n+a^n(k_n^2C_a^2+\ldots)$‍‍ не делится на $a$‍‍ при $n\gt0$‍‍ по предположению индукции (случай $n=0$‍‍ разбирается отдельно; сделайте это самостоятельно).

Аналогично доказывается и соотношение (2).

Подставив теперь $a=b=1979$‍,‍ получим, что $1978^{1979^{1980}}+1$‍‍ делится на $1979^{1981}$‍,‍ а $1980^{1979^{1978}}-1$‍‍ делится на $1979^{1979}$‍‍ и не делится на $1979^{1980}$‍.‍ Окончательно получаем, что максимальный показатель степени 1979, на которую делится число $1978^{1979^{1980}}+1980^{1979^{1978}}$‍,‍ равен 1979.

Чтобы ответить на вопрос а) задачи, определим наибольшую степень пятёрки, на которую делится число $4^{5^6}+6^{5^4}$‍.‍ Положив $a=b=5$‍,‍ получим, что $4^{5^6}+1$‍‍ делится на $5^7$‍,‍ а $6^{5^4}-1$‍‍ делится на $5^5$‍‍ и не делится на $5^6$‍,‍ так что максимальная степень пятёрки, на которую делится сумма $4^{5^6}+6^{5^4}$‍‍‚ равна $5^5$‍.‍ Далее легко видеть, что $4^{5^6}$‍‍ делится на $2^{5^6}\gt2^5$‍‍ и $6^{5^4}$‍‍ делится на $2^{5^4}\gt2^5$‍.‍ Таким образом, число $4^{5^6}+6^{5^4}$‍‍ делится на $5^5\cdot2^5=10^5$‍,‍ причём на $5^6$‍‍ уже не делится. Значит, число $4^{5^6}+6^{5^4}$‍‍ оканчивается пятью нулями.