«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Функция $f$ такова, что для всех действительных $x$ $$ f(x+1)+f(x-1)=\sqrt2\,f(x). $$ Докажите, что $f$ — периодическая функция.
На клетчатой бумаге (сторона клетки 1) нарисован $n$-угольник, все стороны которого лежат на линиях сетки и имеют нечётную длину.
Фиксируем $k\in \N$.
Светящаяся точка находится на главной оптической оси на расстоянии $d=40~\text{см}$ от рассеивающей линзы с фокусным расстоянием $F=10~\text{см}$. Точку сместили на расстояние $h=5~\text{см}$ в плоскости, перпендикулярной главной оптической оси. На сколько и куда надо сместить линзу, чтобы…
Если в центр квадратного стола поставить предмет массой, большей $m_0$, ножки стола сломаются. Найти множество точек стола, куда можно поставить предмет массой $\dfrac{m_0}2$, не боясь поломки стола.
На хорде $AB$ окружности с центром $O$ берётся произвольная точка $M$. Через точки $A$, $M$ и $O$ проводится окружность, пересекающая первую окружность в точках $A$ и $C$.…
Возрастающая последовательность натуральных чисел $(a_n)$ такова, что $a_{n+1}\le 10a_n$. Докажите, что если все числа $a_n$ записать рядом (без пробелов и запятых), то полученная последовательность цифр не будет периодической.
На сторонах треугольника $ABC$ во внешнюю сторону построены подобные между собой треугольники $ADB$, $BEC$ и $CFA$ $\Big(\dfrac{|AD|}{|DB|}=\dfrac{|BE|}{|EC|}=\dfrac{|CF|}{|FA|}=k$; $\widehat{ADB}=\widehat{BEC}=\widehat{CFA}=\alpha\Big)$. Докажите, что: