На плоскости отмечены $2n+1$ различных точек. Занумеруем их числами 1, 2, $\ldots$, $2n+1$ и рассмотрим следующее преобразование $R$ плоскости: сначала делается симметрия относительно первой точки, затем — относительно второй и т. д. — до $(2n+1)$-й точки.
Покажите, что у этого преобразования $R$ есть единственная «неподвижная точка» (точка, которая отображается в себя).
Рассмотрим всевозможные способы нумерации наших $2n+1$ точек (числами 1, 2, $\ldots$, $2n+1$). Каждой такой нумерации соответствуют своё преобразование плоскости $R$ и своя неподвижная точка. Пусть $F$ — множество неподвижных точек всех этих преобразований.
Укажите множество $F$ для $n=1$.
Какое максимальное и какое минимальное количество точек может содержать множество $F$ при каждом $n=2$, 3, $\ldots$?
Пусть точки $A(x;y)$ и $A^*(x^*;y^*)$ симметричны относительно точки $A'(x';y')$. Тогда $x'=\dfrac{x+x^*}2$, $y'=\dfrac{y+y^*}2$, откуда
$$
x^*=2x'-x,\quad y^*=2y'-y.
$$
Таким образом, точка с координатами $(x;y)$ при симметрии относительно точки с координатами $(x';y')$ переходит в точку с координатами $(2x'-x;2y'-y)$.
Поэтому при нашем преобразовании $R$ точка с координатами $(x;y)$ перейдёт в точку с координатами $(-x+2x_1-2x_2+\ldots+2x_{2n+1};$ $-y+2y_1-2y_2+\ldots+2y_{2n+1})$, где $(x_i;y_i)$ — координаты $i$-й из заданных $2n+1$ точек.
а) Для неподвижной точки $(x;y)$ преобразования $R$ эти координаты определяются однозначно из условия
$$
\left\{\begin{array}l
-x+2x_1-2x_2+\ldots+2x_{2n+1}=x,\\
-y+2y_1-2y_2+\ldots+2y_{2n+1}=y
\end{array}\right.
$$
и равны $(x_1-x_2+\ldots-x_{2n}+x_{2n+1};$ $y_1-y_2+\ldots-y_{2n}+y_{2n+1})$ или $$
\left(\textstyle\sum\limits_{i=1}^{2n+1}{}(-1)^{i-1}x_i;~
\sum\limits_{i=1}^{2n+1}{}(-1)^{i-1}y_i\right).\tag{*}
$$
Утверждение а) доказано.
б) Пусть сначала данные точки $X_1$, $X_2$, $X_3$ не лежат на одной прямой. Если точка $A_1$ после симметрии относительно точек $X_1$, $X_2$, $X_3$ отобразилась в себя (см. рисунок), то $X_1$, $X_2$, $X_3$ — середины отрезков $A_1A_2$, $A_2A_3$, $A_3A_1$, где $A_2=S_{X_1}(A_1)$, $A_3=S_{X_2}(A_1)$. Значит, $[A_1X_2]$, $[A_2X_3]$, $[A_3X_1]$ — медианы треугольника $A_1A_2A_3$, так что точки $A_1$, $A_2$, $A_3$ можно получить из точек $X_1$, $X_2$, $X_3$ гомотетией с центром в центре тяжести $O$ треугольника $X_1X_2X_3$ и коэффициентом ($-2$). Этим положение точек $A_i$ ($i=1$, 2, 3) определяется однозначно. С другой стороны, каждая точка $A_i$ при соответствующей композиции симметрий относительно точек $X_i$ отображается в себя (например, $S_{X_2}(S_{X_1}(S_{X_3}(A_3)))=A_3$). Поэтому множество $F$ — это три точки, получающиеся из данных точек $X_1$, $X_2$, $X_3$ гомотетией с центром $O$ и коэффициентом ($-2$). Легко видеть, что, если данные точки $X_1$, $X_2$, $X_3$ лежат на прямой, ответ получается, в разумном смысле, тот же.
в) Глядя на выражение (*), нетрудно сообразить, что в множестве $F$ точек не больше, чем число способов выбрать из $2n+1$ данных точек те $n$ точек, перед абсциссами которых в выражении (*) будет стоять знак «минус», т. е. не больше, чем $C_{2n+1}^n$. Очевидно, эта оценка точна (возьмите, например, $2n+1$ точек на одной прямой с целыми координатами 1, 2, $2^2$, $\ldots$, $2^{2n}$).
Оценим теперь число неподвижных точек снизу. Спроектируем данные $2n+1$ точек на прямую так, чтобы никакие две точки не попали в одну. На этой прямой введём координаты и перенумеруем точки в порядке возрастания координат: $x_1\lt x_2\lt\ldots\lt x_{2n+1}$. Поставим $n$ минусов перед первыми $n$ числами и рассмотрим сумму $-x_1-x_2-\ldots-x_n+x_{n+1}+\ldots+x_{2n+1}$; она будет соответствовать некоторой неподвижной точке из нашего множества $F$. Далее произведём следующую операцию: выберем пару чисел $x_i$ и $x_{i+1}$, таких, что перед стоит минус, а перед $x_{i+1}$ — плюс, и поменяем у них знаки (на первом шаге, очевидно, $i=n$). Каждая такая операция приводит к сумме, соответствующей неподвижной точке из множества $F$, причём, поскольку после каждой такой операции сумма уменьшается, все эти неподвижные точки различны. Всего таких операций (вне зависимости от их порядка) мы можем произвести $n(n+1)$, что уже даст нам $n(n+1)+1$ неподвижных точек. Значит, в $F$ точек не меньше $n(n+1)+1$. Ровно столько неподвижных точек получится, если, например, снова взять $2n+1$ точек на прямой с целыми координатами $-n$, $-(n-1)$, $\ldots$, $-1$, 0, 1, 2, $\ldots$, $n-1$, $n$. При всевозможных способах расстановки $n$ «минусов» перед некоторыми из них максимальное значение суммы этих чисел равно $2\cdot(1+2+\ldots+n)=n(n+1)$, минимальное значение равно $-n(n+1)$, причём сумма может принимать любое чётное значение между числами $-n(n+1)$ и $n(n+1)$ — всего $n(n+1)+1$ значений.
