Задача М596‍‍

Сначала докажем, что все рёбра нижнего основания окрашены в один и тот же цвет. Действительно, пусть найдутся два ребра нижнего основания, окрашенных в разные цвета, тогда на нижнем основании найдутся два смежных ребра, окрашенных в разные цвета (рис. 1). Можно считать, что это рёбра $A_1A_2$‍‍ и $A_2A_3$‍,‍ причём первое ребро окрашено в красный цвет, а второе — в синий. Из пяти отрезков $A_2B_k$‍‍ ($k=1$‍,‍ 2, $\ldots$‍,‍ 5) по крайней мере три окрашены в одинаковый цвет, будем считать, что этот цвет — красный. Из трёх вершин на верхнем основании, в которые ведут эти отрезки, найдутся две соседние вершины. Обозначим их через $B_i$‍‍ и $B_j$‍.‍ Очевидно, ребро $B_iB_j$‍‍ должно быть синим, иначе в треугольнике $A_2B_iB_j$‍‍ все рёбра были бы окрашены в красный цвет (см. рис. 1). Синим должен быть и отрезок $A_1B_i$‍,‍ иначе все стороны треугольника $A_1A_2B_i$‍‍ были бы окрашены в красный цвет. Отрезок $A_1B_j$‍‍ тоже должен быть синим, чтобы все стороны треугольника $A_1A_2B_j$‍‍ не были красными. Но в таком случае все стороны треугольника $A_1B_iB_j$‍‍ будут синими. Получили противоречие.

Аналогично доказывается, что и рёбра верхнего основания окрашены одинаково.

Предположим теперь, что рёбра нижнего основания окрашены в красный цвет, а рёбра верхнего основания — в синий. Тогда из любой вершины нижнего основания выходит не более двух отрезков синего цвета (в противном случае два синих отрезка, выходящих из одной вершины нижнего основания, будут оканчиваться в соседних вершинах верхнего основания, образуя с соединяющим их отрезком «синий» треугольник — см. рис. 2). Таким образом, из отрезков $A_iB_j$‍‍ не более чем $2\cdot5=10$‍‍ синих. Аналогичные рассуждения, проведённые с другим основанием, показывают, что красных отрезков тоже не больше 10. Но всего отрезков $A_iB_j$‍,‍ как не трудно посчитать, 25, а мы получили, что их не более 20. Противоречие. Тем самым мы и доказали, что все рёбра обоих оснований призмы окрашены в один и тот же цвет.

Отметим, что утверждение задачи верно для любой призмы с нечётным числом вершин при основании и неверно для призмы с чётным числом вершин при основании (приведите пример).