Савин Анатолий Павлович / Указатель персоналий / Указатели // Архив журнала «Квант»

Статьи о персоне

Авторские статьи‍‍

Составление, редактирование‍‍

Авторские задачи‍‍

Задача М91
Двое играют в «крестики» и «нолики» на бесконечном листе клетчатой бумаги. Начинающий ставит крестик в любую клетку. Каждым следующим своим ходом он должен ставить крестик в любую свободную клетку, соседнюю с одной из клеток, где уже стоит крестик; соседней с данной клеткой считается любая,…
Задача М258
На плоскости даны три точки $K$‍,‍ $L$‍,‍ $N$‍.‍ Про четырёхугольник известно, что он выпуклый и что середины некоторых трёх его сторон лежат в данных точках $K$‍,‍ $L$‍,‍ $N$‍.‍ Найдите множества точек, в которые может…
Задача М318
В треугольнике $ABC$‍‍ проведены биссектрисы $[AD]$‍‍ и $[CE]$‍.‍ Докажите, что $|CE|\cdot|AB|=|AD|\cdot|BC|$‍‍ тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из двух условий:
1. $|AB|=|BC|$‍;‍
2. $\widehat{ABC}=60^\circ$‍.‍
Задача М349
Какому условию должны удовлетворять длины сторон треугольника, чтобы треугольник, составленный из
1. высот,
2. медиан,
3. биссектрис данного треугольника,
был подобен данному?
Задача М399
На отрезке длины 7 можно поставить пять точек (см. рис. 3) так, чтобы для любого $m=1$‍,‍ 2, $\ldots$‍,‍ 7 нашлись две из этих пяти точек на расстоянии $m$‍.‍

Попробуйте выяснить, какое наименьшее число $k_n$‍‍ точек нужно поставить на…
Задача М404
На полке стоят первые $n$‍‍ томов энциклопедии. С ними можно проводить следующую операцию: взять любые три рядом стоящих тома и поставить их между любыми двумя томами, а также в начало или в конец ряда, не меняя при этом порядка этих трёх томов. Можно ли, применив несколько раз…
Задача М482
Сечение правильного тетраэдра — четырёхугольник. Докажите, что периметр этого четырёхугольника больше $2a$‍,‍ но меньше $3a$‍;‍ где $a$‍‍ — длина ребра тетраэдра.
Задача М693
В некотором посёлке 1000 жителей. Ежедневно каждый из них делится узнанными вчера новостями со всеми своими знакомыми. Известно, что любая новость становится известной всем жителям посёлка. Докажите, что можно выбрать 90 жителей так, что если одновременно всем им сообщить какую-то…
Задача М706
Из центра каждой из двух данных окружностей проведены касательные к другой окружности. Докажите, что хорды, соединяющие точки пересечения касательных с окружностями (на рисунке 1 эти хорды показаны красным цветом), имеют одинаковые длины.
Задача М784
Шарообразная планета движется по окружности вокруг звезды и вращается вокруг своей оси, причём ось суточного вращения наклонена к плоскости орбиты под углом $\alpha$‍‍ (для нашей Земли $\alpha=66{,}5^\circ$‍).‍ Найдите зависимость продолжительности $T$‍‍ самого короткого дня в году…
Задача М803
Сумма двух рациональных чисел $x$‍‍ и $y$‍‍ — натуральное число, сумма обратных к ним чисел $\dfrac1x$‍‍ и $\dfrac1y$‍‍ — тоже натуральное число. Какими могут быть $x$‍‍ и $y$‍?‍
Задача М899
Назовём округлением нецелого числа $x$‍‍ замену его на одно из двух ближайших целых чисел ($[x]$‍‍ или $[x]+1$‍).‍
1. Докажите, что в любом равенстве $$ x_1+x_2+\ldots+x_m=y_1+y_2+\ldots+y_n $$ все нецелые слагаемые можно округлить так что…
Задача М961
На стороне $AB$‍‍ квадрата $ABCD$‍‍ взята точка $E$‍,‍ а на стороне $CD$‍‍ — точка $F$‍,‍ причём $AE:EB=1:2$‍,‍ $CF=FD$‍.‍ Будут ли голубой и розовый треугольники (рис. 1) подобны?
Задача М1006
Через две вершины треугольника проведены две прямые, разбивающие его на три треугольника и четырёхугольник.
1. Могут ли площади всех четырёх частей быть равными?
2. Какие три из этих частей могут иметь равные площади? Во сколько раз отличается от них…
Задача М1038
1. Докажите, что если произведение $mn$‍‍ делится на 6 (где $m$‍‍ и $n$‍‍ — целые числа, большие 1), то прямоугольник $m\times n$‍‍ клеток можно разрезать на уголки из трёх клеток.
При каких…
Задача М1082
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$‍‍ диагонали пересекаются в точке $O$‍.‍ Докажите, что равенство $$ AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2(AO^2+BO^2+CO^2+DO^2) $$ выполнено тогда и только тогда, когда либо диагонали $AC$‍‍ и $BD$‍‍ перпендикулярны, либо одна из них делится точкой…
Задача М1226
Если квадрат повернуть относительно его центра на $45^\circ$‍,‍ то полученный квадрат разделит стороны первоначального в некотором отношении. Возьмём произвольный выпуклый четырёхугольник, разделим его стороны в том же отношении и через точки деления проведём прямые, образующие новый…
Задача М1302
Текст задачи готовится
Задача М1308
Текст задачи готовится
Задача М1472
При каких натуральных $n\gt 1$‍‍ в таблице можно выбрать $n$‍‍ разных чисел в разных строках и разных столбцах? $$ \begin{array}{cccccc} 1&2&3&\ldots&n-1&n\\ n&1&2&\ldots&n-2&n-1\\ n-1&n&1&\ldots&n-3&n-2\\ &&&\mathclap{~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.}&&\\ 2&3&4&\ldots&n&1 \end{array} $$
Задача М1623
Текст задачи готовится
Задача М2493
Текст задачи готовится

Анатолий Павлович Савин‍1932—1998‍142

Статьи о персоне

Авторские статьи‍‍

Составление, редактирование‍‍

Авторские задачи‍‍