В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $[AD]$ и $[CE]$. Докажите, что $|CE|\cdot|AB|=|AD|\cdot|BC|$ тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из двух условий:
Введём стандартные обозначения: $a$ — длина стороны $BC$, $c$ — длина стороны $AB$, $l_a$ — длина биссектрисы угла $A$, $l_c$ — длина биссектрисы угла $C$. Величины углов при вершинах соответственно обозначим через $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Кроме того, обозначим величину угла $AEC$ через $\varphi_1$, а угла $ADC$ — через $\varphi_2$ (рис. 1). Из рассмотрения треугольников $AEC$ и $ADC$ следует, что $$
\alpha+\dfrac\gamma2+\varphi_1=\pi,\quad\dfrac\alpha2+\gamma+\varphi_2=\pi.\tag1
$$
Кроме того, мы можем выразить площадь треугольника $ABC$ двумя способами: $S=\dfrac12al_a\sin\varphi_2$ и $S=\dfrac12cl_c\sin\varphi_1$, поскольку $h_a=l_a\sin\varphi_2$, а $h_c=l_c\sin\varphi_1$. Отсюда
$$
al_a\sin\varphi_2=cl_c\sin\varphi_1.\tag2
$$
Покажем теперь, что из соотношения
$$
al_a=cl_c\tag3
$$
следует хотя бы одно из условий, данных в задаче. Из (2) и (3) следует, что $$
\sin\varphi_2=\sin\varphi_1.\tag4
$$
Равенство синусов может быть в двух случаях (так как $0\lt\varphi_i\lt\pi$):
$$
\begin{gather*}
\varphi_1=\varphi_2,\tag5\\
\varphi_1=\pi-\varphi_2.\tag6
\end{gather*}
$$
Если выполнено (5), то из (1) получаем:
$$
\alpha+\dfrac\gamma2+\varphi_1=\pi,\quad\dfrac\alpha2+\gamma+\varphi_1=\pi.
$$
Вычитая одно соотношение из другого, получаем, что $\alpha=\gamma$, т. е. треугольник $ABC$ — равнобедренный, $a=c$.
Пусть выполнено соотношение (6), тогда из (1) следует, что $$
\alpha+\dfrac\gamma2+\varphi_1=\pi,\quad\dfrac\alpha2+\gamma+\pi-\varphi_1=\pi.
$$
Складывая эти соотношения, получаем
$$
\dfrac32\alpha+\dfrac32\gamma=\pi,\tag7
$$
или $\alpha+\gamma=\dfrac{2\pi}3$, откуда величина угла $B$ равна $\beta=\pi-(\alpha+\gamma)=\dfrac\pi3$.
Необходимость доказана. Докажем достаточность. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($a=c$) соотношение (3) следует из равенства длин биссектрис $l_a=l_c$.
Если же угол $\beta=\dfrac\pi3$, то тогда верно соотношение (7). Складывая соотношения (1) и подставляя туда условие (7), получим условие (6), из которого следует соотношение (4), а из (4) и (2) вытекает требуемое соотношение (3).
Заметим, что утверждение задачи можно было сформулировать следующим образом:
«Пусть задан отрезок $AC$. Геометрическим местом вершин $B$ треугольников $ABC$ таких,
что$al_a=cl_c$ (см. введённые обозначения), является совокупность двух дуг окружностей (см. рис. 2) и серединного перпендикуляра к заданному отрезку,
причём центры окружностей равноудалены друг от друга
и от концов заданного отрезка».
