Задача М591‍‍

Ключом к доказательству утверждения задачи является равенство $1979=1319+660$‍,‍ подсказывающее следующее преобразование знакопеременной суммы: $$ \begin{gather*} 1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\ldots-\dfrac1{1318}+\dfrac1{1319}=\\ =1+\dfrac12+\dfrac13+\dfrac14+\ldots+\dfrac1{1318}+\dfrac1{1319}-2\left(\dfrac12+\dfrac14+\ldots+\dfrac1{1318}\right)=\\ =1+\dfrac12+\dfrac13+\dfrac14+\ldots+\dfrac1{1318}+\dfrac1{1319}-\left(1+\dfrac12+\dfrac13+\dfrac14+\ldots+\dfrac1{659}\right)=\\ =\dfrac1{660}+\dfrac1{661}+\ldots+\dfrac1{1319}. \end{gather*} $$

Теперь уже нетрудно заметить, что, сложив равноотстоящие от концов слагаемые: $$ \dfrac1{660+k}+\dfrac1{1319-k}=\dfrac{1979}{(660+k)(1319-k)}, $$ получим дроби, числители которых равны 1979 ($k=0$‍,‍ 1, $\ldots$‍,‍ 329). Сложив все эти дроби, получим число $\dfrac{330\cdot1979}{660\cdot661\cdot\ldots\cdot1319}=\dfrac{1979}{2\cdot661\cdot\ldots\cdot1319}$‍.‍

Осталось заметить, что число 1979 является простым, а каждый сомножитель в знаменателе меньше, чем 1979.

Задачу М591 можно сформулировать в более общем виде:

Пусть $p$‍‍ и $q$‍‍ — натуральные числа такие, что $$ \dfrac pq=1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\ldots-\dfrac1{4k-2}+\frac1{4k-1}. $$ Тогда, если число $6k-1$‍‍ — простое, то число $p$‍‍ делится на $6k-1$‍.‍