Текст статьиСавин А. П., Сендеров В. А. Описанная трапеция и средние // Квант. — 1972. — № 8. — С. 49.
Взгляните на рисунок. Описанная равнобедренная трапеция, в которой проведены высота $BH$ и отрезок $HG$, перпендикулярный стороне $AB$. Казалось бы, ничего особенно примечательного в этой фигуре нет, однако этот чертёж обладает удивительным свойством. На нём вместе с верхним основанием $a$ и нижним основанием $b$ уже содержатся все три средние этих отрезков: среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое, а именно:
$$
AB=\dfrac{a+b}2,\quad BH=\sqrt{ab},\quad BG=\dfrac2{\dfrac1a+\dfrac1b}.
$$
Попробуйте самостоятельно доказать эти утверждения.
А теперь достаточно одного взгляда на чертёж, чтобы убедиться, что между средними выполнены следующие соотношения:
$$
\dfrac{a+b}2\ge\sqrt{ab}\ge\dfrac2{\dfrac1a+\dfrac1b}.
$$
Действительно, $AB$ и $BH$ являются наклонной и перпендикуляром, проведёнными к прямой $AD$ из точки $B$, а $BH$ и $BG$ — наклонная и перпендикуляр из точки $B$ к прямой $HG$.
