На диагоналях $AC$ и $CE$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ взяты точки $M$ и $N$ соответственно, такие что $$
\dfrac{|AM|}{|AC|}=\dfrac{|CN|}{|CE|}=\lambda.
$$
Известно, что точки $B$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой. Найдите $\lambda$.
Международная математическая олимпиада школьников (XXIII, 1982 год)
Ответ: $\lambda=\dfrac1{\sqrt3}$. Пусть $L$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BF$ (см. рисунок). Диагонали $BF$ и $CE$ параллельны, поэтому треугольники $BLM$ и $NCM$ подобны; следовательно,
$$
\frac{|BL|}{|NC|}=\frac{|LM|}{|CM|}.
$$
Выразим длины отрезков в этом равенстве через $\lambda$, считая длину диагонали $AC$ равной 1.
Из подобия треугольников $ABL$ и $CFL$ следует, что $|BL|:|LF|=|AB|:|CF|=1:2$. Следовательно, $|BL|=\dfrac13$, так как $|BF|=|AC|=1$. Аналогично, $|AL|=\dfrac13$. Ясно, что $|CN|=|AM|=\lambda$, $|CM|=1-\lambda$, а $|LM|=|AM|-|AL|=\lambda-\dfrac13$. Таким образом,
$$\dfrac{\dfrac13}\lambda=\dfrac{\lambda-\dfrac13}{1-\lambda},$$
т. е. $\lambda^2=\dfrac13$ и $\lambda=\dfrac1{\sqrt3}$.
