Дан неравнобедренный треугольник $A_1A_2A_3$. Пусть $a_i$ — его сторона, лежащая против вершины $A_i$ ($i=1$, 2, 3), $M_i$; — середина стороны $a_i$, $T_i$ — точка касания стороны с окружностью, вписанной в данный треугольник, и $S_i$ — точка, симметричная $T_i$ относительно биссектрисы угла $A_i$ треугольника. Докажите, что прямые $M_1S_1$, $M_2S_2$ и $M_3S_3$ имеют общую точку.
Международная математическая олимпиада школьников (XXIII, 1982 год)
Стороны треугольника $M_1M_2M_3$ соответственно параллельны сторонам треугольника $A_1A_2A_3$. Мы докажем, что и стороны треугольника $S_1S_2S_3$ параллельны сторонам $A_1A_2A_3$. Отсюда вытекает, что $\triangle S_1S_2S_3$ гомотетичен $\triangle M_1M_2M_3$ или переводится в него параллельным переносом. Второй случай отпадает, ибо окружность, описанная около треугольника $M_1M_2M_3$, больше описанной окружности треугольника $S_1S_2S_3$. Следовательно, прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников $S_1S_2S_3$ и $M_1M_2M_3$, должны пересечься в одной точке — центре гомотетии.
Покажем, например, что прямые $S_1S_2$ и $A_1A_2$ параллельны (см. рисунок). При симметрии относительно биссектрисы угла $A_1$ точка $S_1$ перейдёт в $T_1$, а $T_3$ — в $T_2$, поэтому дуги $S_1T_3$ и $T_1T_2$ вписанной окружности треугольника $A_1A_2A_3$ равны. Аналогично, при симметрии относительно биссектрисы угла $A_2$ дуга $T_1T_2$ перейдёт в дугу $T_3S_2$. Следовательно, дуги $S_1T_3$ и $T_3S_2$ равны, и поэтому точки $S_1$ и $S_2$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $A_1A_2$, т. е. $S_1S_2\parallel A_1A_2$. Аналогично доказывается, что и две другие стороны треугольника $S_1S_2S_3$ параллельны соответствующим сторонам треугольника $A_1A_2A_3$.
