На стороне $AB$ квадрата $ABCD$ взята точка $E$, а на стороне $CD$ — точка $F$, причём $AE:EB=1:2$, $CF=FD$. Будут ли голубой и розовый треугольники (рис. 1) подобны?
Ответ: да. Обозначим точки пересечения диагонали $AC$ с отрезками $ED$ и $BF$ через $M$ и $N$. В треугольниках $AEM$ и $CFN$ углы $EAM$ и $FCN$ равны по $45^\circ$, $\tg\angle AEM=3$, $\tg\angle CFN=2$ и, поскольку $\angle AME=180^\circ-45^\circ-\angle AEM$,
$$
\tg\angle AME=\mathopen-\tg(45^\circ+\angle AEM)=-\dfrac{1+3}{1-1\cdot3}=2,
$$
следовательно, $\angle CFN=\angle AME$, и треугольники подобны по двум углам.
Приведём ещё одно, чисто геометрическое решение. Очевидно, что $AM:MC=AE:CD=1:3$, $AB:AC=\sqrt2:2$, следовательно,
$$
AE:AM=\left(\dfrac13AB\right):\left(\dfrac14AC\right)=\dfrac{2\sqrt2}3.
$$
Аналогично, $CN:NA=CF:AB=1:2$ и
$$
CN:CF=\left(\dfrac13AC\right):\left(\dfrac12CD\right)=\dfrac{2\sqrt2}3,
$$
т. е. $AE:AM=CN:CF$; отсюда вытекает подобие треугольников.
Эта задача построена на соотношении $\arctg1+\arctg2+\arctg3=\pi$; оно же используется и в задаче, приведённой на рисунке 2, — попробуйте решить её чисто геометрически!
Рис. 2. Докажите, что $\alpha+\beta+\gamma=90^\circ$.
