В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Докажите, что равенство
$$
AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2(AO^2+BO^2+CO^2+DO^2)
$$
выполнено тогда и только тогда, когда либо диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, либо одна из них делится точкой $O$ пополам.
Запишем теорему косинусов для треугольников $AOB$, $BOC$, $COD$ и $DOA$, полагая $\angle AOB=\alpha$ (и тем самым $\angle BOC=\pi-\alpha$; см. рисунок):
$$
\colsep{0pt}{\begin{array}{rcrcrcccccl}
AB^2&{}={}&AO^2&{}+{}&BO^2&{}-2&AO&{}\cdot{}&BO&{}\cos\alpha,\\
BC^2&=&BO^2&+&CO^2&{}-2&BO&\cdot&CO&{}\cos\alpha,\\
CD^2&=&CO^2&+&DO^2&{}-2&CO&\cdot&DO&{}\cos\alpha,\\
DA^2&=&DO^2&+&AO^2&{}-2&DO&\cdot&AO&{}\cos\alpha.
\end{array}}
$$
Сложим эти равенства и перенесём квадраты отрезков диагоналей в левую часть:
$$\begin{gather*}
AB^2+BC^2+CD^2+DA^2-2(AO^2+BO^2+CO^2+DO^2)=\\
=2\cos\alpha\,(-AO\cdot BO+BO\cdot CO-CO\cdot DO+DO\cdot AO)=\\
=2\cos\alpha\,(BO-DO)(CO-AO).
\end{gather*}$$
Равенство из условия равносильно тому, что последнее полученное выражение равно нулю, поэтому или $\cos\alpha=0$, и следовательно, диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, или $BO=DO$, или $CO=AO$, т. е. одна из диагоналей делится точкой $O$ пополам.
