Внутри треугольника расположены окружности $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ одинакового радиуса так, что каждая из окружностей $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ касается двух сторон треугольника и окружности $\delta$ (рис. 1). Докажите, что центр окружности $\delta$ принадлежит прямой, проходящей через центры вписанной в данный треугольник окружности и окружности, описанной около него.
Пусть $ABC$ — данный треугольник и $O_1$, $O_2$, $O_3$ — центры конгруэнтных окружностей, касающихся пар его сторон, а $O_4$ — центр четвёртой окружности — той, которая касается указанных трёх (см. рисунок). Длины их радиусов обозначим через $\rho$. Треугольник $O_1O_2O_3$ гомотетичен треугольнику $ABC$, так как его стороны соответственно параллельны сторонам треугольника $ABC$. Не трудно видеть, что центром этой гомотетии будет точка $N$, являющаяся одновременно центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$, и центром окружности, вписанной в треугольник $O_1O_2O_3$. Действительно, прямые $AO_1$, $BO_2$, $CO_3$ являются биссектрисами углов как треугольника $ABC$, так и треугольника $O_1O_2O_3$, а точка $N$ — точка пересечения этих биссектрис.
Теперь заметим, что точка $O_4$ является центром окружности, описанной вокруг треугольника $O_1O_2O_3$ (её расстояние до каждой из вершин этого треугольника равно $2\rho$).
Рассмотрим гомотетию с центром в точке $N$, переводящую треугольник $O_1O_2O_3$ в треугольник $ABC$. Точка $O_4$ переходит при этом в некоторую точку $M$, лежащую на прямой $NO_4$. Мы уже знаем, что точка $O_4$ была центром окружности, описанной вокруг треугольника $O_1O_2O_3$; следовательно, её образ — точка $M$ — будет центром окружности, описанной вокруг треугольника $ABC$. Итак, центр окружности, описанной вокруг треугольника $ABC$, лежит на одной прямой с точкой $O_4$ и с центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Тем самым доказано утверждение зaдачи.
Нетрудно вычислить величину радиуса $\rho$ этих четырёх окружностей через $r$ и $R$ — радиусы вписанной в треугольник $ABC$ окружности и окружности, описанной около него.
Заметим, что радиус окружности, вписанной в треугольник $O_1O_2O_3$, равен $r-\rho$, а радиус окружности, описанной вокруг этого треугольника, равен $2\rho$.
Пусть $k$ — коэффициент рассмотренной выше гомотетии. Тогда $(r-\rho)k=r$ и $2\rho k=R$. Выразив $k$ из каждого соотношения и приравняв полученные выражения, найдём
$$
\dfrac r{r-\rho}=\dfrac R{2\rho},
$$
откуда
$$
\rho=\dfrac{rR}{R+2r}.
$$
