a) Пусть $(m+1)^3-m^3=n^2$. Раскрывая скобки и умножая обе части равенства на 4, получим, что $3\cdot4m^2+3\cdot4m+4=4n^2$ или
$$
3(2m+1)^2=(2n+1)(2n-1).\tag1
$$
Поскольку числа $2n+1$ и $2n-1$ взаимно простые, равенство (1) возможно, только тогда когда одно из этих чисел — квадрат натурального, а другое — утроенный квадрат. Но число $n$ нечётно, ($n^2$ — это разность чисел разной чётности), поэтому $2n+1$ даёт при делении на 4 остаток 3, а квадрат целого числа либо делится на 4, либо даёт при делении на 4 остаток 1; следовательно, точным квадратом является $2n-1$; т. е. $2n-1=(2l+1)^2$ или $n=2l^2+2l+1=l^2+(l+1)^2$.
б), в) Полагая в равенстве (1) $2n=a$, $2m+1=b$, перепишем его в виде
$$
a^2-3b^2=1.\tag2
$$
Очевидно, каждому решению $(a,b)$ данного уравнения с нечётным $b$ (и, следовательно, чётным $a$) отвечает пара $(m,n)$, удовлетворяющая условию задачи. Покажем, как по одному решению $(a,b)$ можно построить бесконечную последовательность решений. Мы воспользуемсяобщим методом построения решений так называемого уравнения Пелля $x^2-dy^2=1$, о котором подробно рассказывалось в статье Н. Б. Васильева и В. Л. Гутенмахера «Пары чисел и действия с ними» (Квант, 1985, №1, с. 20).
Пусть $(a_1,b_1)$ — какое-то решение (2). Определим числа $a_k$ и $b_k$ равенством $(a_1+b_1\sqrt3)^k=a_k+b_k\sqrt3$. Ясно, что тогда $(a_1-b_1\sqrt3)^k=a_k-b_k\sqrt3$, поэтому
$$
a_k^2-3b_k^2=(a_k+b_k\sqrt3)(a_k-b_k\sqrt3)=((a_1+b_1\sqrt3)(a_1-b_1\sqrt3))^k=(a_1^2-3b_1^2)^k=1.
$$
Следовательно, пары $(a_k,b_k)$ при всех $k$ также удовлетворяют уравнению (2). При этом, если $b_1$ нечётно (а $a_1$ чётно), то при нечётном $k$ число $b_k$ представляется в виде $a_1\cdot A+b_1^k\cdot3^{\frac{\scriptstyle k-1}{\scriptstyle 2}}$ и тоже нечётно.
Таким образом, начав, скажем, с $(a_1,b_1)=(2,1)$ и последовательно вычисляя нечётные степени $(2+\sqrt{3})^3=26+15\sqrt3$, $(2+\sqrt{3})^5=362+209\sqrt3$, $\ldots$, мы получим бесконечный набор решений (2): $(a_3,b_3)=(26,15)$, $(a_5,b_5)=(362,209)$, $\ldots$, а из них — решения исходной задачи: $(m,n)=(7,13)$, $(104,181)$, $\ldots$, которым отвечают соотношения $8^3-7^3=(2^2+3^2)^2$ (пример из условия задачи б)), $105^3-104^3=(9^2+10^2)^2$ (ответ к задаче б)) и т. д.
