«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
В окружность радиуса $R$ вписан $n$-угольник площадью $S$. На каждой стороне $n$-угольника отмечено по точке. Докажите, что периметр $n$-угольника с вершинами в отмеченных точках не меньше $\dfrac{2S}R$.
Дан параллелограмм $ABCD$, отличный от ромба. Прямая, симметричная прямой $AB$ относительно диагонали $AC$, пересекает в точке $Q$ прямую, симметричную прямой $DC$ относительно диагонали $DB$ (рис. 2). Найдите…
Из вершины $P$ тетраэдра $PABC$ проводятся три отрезка $PA'$, $PB'$, $PC'$, перпендикулярные граням $PBC$, $PCA$, $PAB$ и равные по длине площадям этих граней соответственно (направления…
Через точку пересечения биссектрисы угла $A$ треугольника $ABC$ и отрезка, соединяющего основания двух других биссектрис, проведена прямая, параллельная стороне $BC$. Докажите, что длина меньшего основания образовавшейся трапеции равна полусумме длин её…
Через произвольную точку $K$ квадрата $ABCD$ проведена прямая, пересекающая его противоположные стороны $AB$ и $CD$ в точках $P$ и $Q$. Докажите, что отличная от $K$ точка пересечения окружностей,…
В пространстве заданы три попарно скрещивающиеся прямые, не параллельные одной плоскости. Сколько существует различных параллелепипедов, у которых эти три прямые
Тетраэдр пересечён тремя плоскостями, каждая из которых параллельна двум его противоположным рёбрам и одинаково удалена от них. Докажите, что сумма квадратов площадей этих трёх сечений в 4 раза меньше суммы квадратов площадей граней тетраэдра.
В тетраэдре $ABCD$ грани $ABC$ и $BCD$ перпендикулярны, $\angle BAC=90^\circ$. Докажите, что из отрезков, длины которых равны произведениям длин противоположных рёбер тетраэдра, можно составить прямоугольный треугольник.
Текст задачи готовится
Вершины $A$, $B$ и $B$, $C$ треугольника $ABC$ служат соответственными вершинами двух подобных друг другу параллелограммов $ABDE$ и $BCFG$, построенных на сторонах $AB$ и…
Пусть $A$, $B$, $C$ — вершины параллелепипеда, соседние с его вершиной $P$, а $Q$ — вершина, противоположная $P$. Докажите, что
В треугольник $ABC$ вписан подобный ему треугольник $A_1B_1C_1$ (вершины $A_1$, $B_1$, $C_1$, углов, равных по величине $\widehat{A}$, $\widehat{B}$, $\widehat{C}$, лежат, соответственно, на отрезках $BC$,…
На окружности отмечены $3k$ точек, разделяющих её на $3k$ дуг, из которых $k$ дуг имеют длину $1$, ещё $k$ дуг — длину $2$, и остальные $k$ дуг — длину $3$. Докажите, что среди…
Внутри тетраэдра выбрана точка $M$. Докажите, что хотя бы одно ребро тетраэдра видно из точки $M$ под углом, косинус которого не больше, чем $-\dfrac{1}{3}$.
Постройте прямую, параллельную стороне $AC$ данного треугольника $ABC$ и пересекающую его стороны $AB$ и $BC$ в таких точках $D$ и $E$ соответственно, что $|AD|=|BE|$.
Найдите отношение сторон прямоугольного треугольника, если известно, что одна половина гипотенузы (от вершины до середины гипотенузы) видна из центра вписанной окружности под прямым углом.
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ как на гипотенузах построены вне его прямоугольные треугольники $APB$ и $BQC$ с одинаковыми углами величины $\beta$ при их общей вершине $B$ (см. рис. 1).…
В Швамбрании $n$ городов, каждые два из которых соединены дорогой. (Дороги сходятся лишь в городах, все пересечения организованы в разных уровнях.) Злой волшебник намеревается установить на каждой дороге одностороннее движение так, что, выехав из любого города, в него уже нельзя…
Известно, что четыре синих треугольника на рисунке 1 равновелики.
Пусть $P$ и $Q$ — середины сторон $AB$ и $CD$ четырёхугольника $ABCD$, $M$ и $N$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$. Докажите, что если прямые $MN$ и…
Все точки, лежащие на сторонах правильного треугольника $ABC$, разбиты на два множества $E_1$ и $E_2$. Верно ли, что для любого такого разбиения в одном из множеств $E_1$ и $E_2$ найдётся тройка вершин прямоугольного…
Докажите, что произведение длин отрезков, на которые гипотенуза прямоугольного треугольника делится точкой касания вписанной в него окружности, равно площади этого треугольника.
В вершинах треугольника $ABC$ восстановлены перпендикуляры $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ к его плоскости по одну сторону от неё, равные по длине соответствующим высотам треугольника. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки пересечения плоскостей…
Среди 1984 первых натуральных чисел (от 1 до 1984) отметим те, которые можно представить в виде суммы пяти целых неотрицательных степеней двойки (то есть пяти не обязательно различных чисел 1, 2, 4, 8, $\ldots$). Каких чисел окажется больше: отмеченных или не отмеченных?
Из вершин основания тетраэдра в боковых гранях проведены высоты. Докажите, что три прямые, соединяющие основания высот в каждой грани, параллельны одной плоскости. (Плоские углы при вершине — не прямые.)
На плоскости расположены три окружности $C_1$, $C_2$, $C_3$ радиусов $r_1$, $r_2$, $r_3$ — каждая вне двух других, причём $r_1\gt r_2$ и $r_1\gt r_3$. Из точки пересечения внешних касательных к окружностям…
Непрерывная и монотонная функция $f$ определена на отрезке $[0;1]$ и принимает значения также на отрезке $[0;1]$. Докажите, что её график можно прикрыть $n$ прямоугольниками площади $\dfrac1{n^2}$ каждый (стороны прямоугольников параллельны…
Докажите, что площадь сечения куба плоскостью, касающейся вписанной в него сферы, не превосходит половины площади грани куба. Рассмотрите случаи, когда это сечение
Про выпуклый четырёхугольник $ABCD$ известно, что окружность с диаметром $AB$ касается прямой $CD$. Докажите, что окружность с диаметром $CD$ касается прямой $AB$ тогда и только тогда, когда прямые $BC$ и…
Существует ли выпуклый многогранник, любое сечение которого плоскостью, не проходящей через вершину, является многоугольником с
числом сторон?
Докажите, что уравнение $4x^n+(x+1)^2=y^2$ относительно натуральных чисел $x$ и $y$
На стороне $AB$ треугольника $ABC$ выбирается точка $P$, и через неё проводятся прямые, параллельные $BC$ и $AC$, до пересечения со сторонами $AC$ и $BC$ соответственно в точках $M$ и…
На сторонах правильного шестиугольника взяты точки $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_6$ (рис. 1). Известно, что три попарно не смежные стороны шестиугольника $A_1\ldots A_6$ ($A_1A_2$, $A_3A_4$, $A_5A_6$) определяют…
Докажите, что
можно представить в виде разности двух многочленов, каждый из которых является монотонно возрастающей функцией.
Касательные к описанной вокруг треугольника $ABC$ окружности, проведённые в точках $A$ и $B$, пересекаются в точке $P$. Докажите, что прямая $PC$
Каждые две из $n$ точек (никакие три из которых не лежат на одной прямой) соединены отрезком, и на всех отрезках расставлены стрелки. Треугольник $ABC$ с вершинами в данных точках называется ориентированным, если стрелки расставлены в направлениях $AB$,…
Числа от 1 до 1985 разбиты на 6 множеств. Докажите, что в одном из них найдётся три числа, одно из которых равно сумме двух других (или два числа, из которых одно вдвое больше другого).
В треугольник $ABC$ вписана окружность, которая касается сторон $AB$, $BC$ и $CA$ в точках $C_{1}$, $A_{1}$ и $B_{1}$ соответственно. Известно, что длины отрезков $AA_{1}$, $BB_{1}$ и…
Дан правильный $(4k+2)$-угольник $A_0A_1\ldots A_{4k+1}$ с центром $O$. Докажите, что сумма отрезков, высекаемых углом $A_kOA_{k+1}$ на прямых $A_1A_{2k}$, $A_2A_{2k-1}$, $\ldots$, $A_kA_{k+1}$ (см. рисунок 1 для $k=2$), равна…
Все стороны выпуклого шестиугольника $ABCDEF$ равны 1. Докажите, что радиус описанной окружности одного из треугольников $ACE$ и $BDF$ не меньше 1.
За круглым столом сидят $n$ участников «безумного чаепития». Каждую минуту одна пара соседей меняется местами. Через какое наименьшее время все участники чаепития могут оказаться сидящими в противоположном порядке (так что левые соседи у всех станут правыми и наоборот)? Решите эту…
На плоскости проведены четыре окружности одинакового радиуса так, что три из них проходят через точку $A$ и три — через точку $B$ (рис. 1). Докажите, что четыре точки их попарного пересечения, отличные от $A$ и $B$, — вершины…
Если разность между кубами двух последовательных натуральных чисел — квадрат некоторого натурального числа $n$, то число $n$ представляется в виде суммы квадратов двух последовательных натуральных чисел.
На стороне $AB$ квадрата $ABCD$ взята точка $E$, а на стороне $CD$ — точка $F$, причём $AE:EB=1:2$, $CF=FD$. Будут ли голубой и розовый треугольники (рис. 1) подобны?
Три пары противоположных сторон шестиугольника параллельны. Докажите, что отрезки, соединяющие их середины, пересекаются в одной точке.
В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ и биссектриса $BE$. Докажите, что если $\angle BEA=45^\circ$, то и $\angle EHC=45^\circ$.
Внутри выпуклого
с вершинами $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$ взята точка $O$. Докажите, что среди $\dfrac{n(n-1)}{2}$ углов…
На сторонах $AB$, $BC$ и $CA$ треугольника $ABC$ построены во внешнюю сторону квадраты $ABB_1A_2$, $BCB_1C_2$, $CAA_1C_2$. Докажите, что перпендикуляры к отрезкам $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$,…
Углом между двумя прямыми, пересекающимися в точке $O$, называется угол между их лучами с вершиной $O$, не превосходящий $90^\circ$. Сколькими способами через точку $O$ в пространстве можно провести три прямые $l_1$,…
Докажите, что треугольники с длинами сторон $a$, $b$, $c$ и $a_1$, $b_1$, $c_1$ подобны, если и только если $$ \sqrt{aa_1}+\sqrt{bb_1}+\sqrt{cc_1}=\sqrt{(a_1+b_1+c_1)(a+b+c)}.$$
Докажите, что:
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ взяты две точки $M$ и $N$. Три параллельные прямые, проходящие через точки $M$, $B$ и $N$, пересекают основание $AC$ в…
Пусть $A$ и $B$ — соседние вершины правильного $n$-угольника с центром $O$. Треугольник $XYZ$, равный треугольнику $OAB$, вначале совпадает с ним, а потом движется в плоскости $n$-угольника так, что…
На сфере радиуса 1 проведена:
Докажите, что найдётся плоскость, проходящая через центр сферы, не пересекающая…
Найдите все решения в натуральных числах $x$, $y$ уравнения $x^y-y^x=x+y$.
В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $60^\circ$. Докажите, что одна из биссектрис угла, образованного высотами, проведёнными из вершин $B$ и $C$, проходит через центр описанной окружности этого треугольника.
Докажите, что шесть точек попарного касания четырёх сфер всегда лежат на одной сфере или на одной плоскости.
На окружности имеется 21 точка. Докажите, что среди дуг с концами в этих точках не менее 100 дуг, не превосходящих $120^\circ$.
Дан угол $AOB$ ($A$ и $B$ — точки на сторонах угла). Постройте прямую $l$, проходящую через вершину $O$ так, чтобы площади треугольников $AOC$ и $BOD$, где $C$ и $D$ —…
Дана стопка из $2n+1$ карточек, с которой разрешается производить следующие две операции:
Пусть $p_n(k)$ — число перестановок множества из $n$ ($n\ge1$) элементов, имеющих ровно $k$ неподвижных точек. Докажите, что:
Примечание.…
Докажите, что если числа $p$, $q$, $r$ рациональны и $pq+qr+pr=1$, то $(1+p^2)(1+q^2)(1+r^2)$ — квадрат рационального числа.
На боковых сторонах $AB$ и $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ нашлись такие точки $D$ и $E$ соответственно, что $AD=BC=EC$ и треугольник $ADE$ равнобедренный. Каким может быть угол при вершине…
После нескольких прямолинейных разрезов поверхность выпуклого многогранника развернули на плоскость. Получился многоугольник, для которого известно, какие точки его границы «склеиваются», т. е. отвечают одной и той же точке на поверхности многогранника. Каким был исходный многогранник, если…
В одном старом задачнике по геометрии была помещена такая задача: вычислить длину стороны правильного треугольника, вписанного в параболу $y=x^2$. В указании к задаче говорилось, что одна из вершин треугольника совпадает с вершиной параболы. Верно ли такое указание? Может ли длина…
В стране 21 город. Авиационное сообщение между ними осуществляют несколько авиакомпаний, каждая из которых обслуживает 10 беспосадочных авиалиний, связывающих попарно некоторые пять городов (при этом между двумя городами могут летать самолёты нескольких компаний). Каждые два города связаны по…
Дан треугольник $ABC$. Две прямые, симметричные прямой $AC$ относительно прямых $AB$ и $BC$ соответственно, пересекаются в точке $K$. Докажите, что прямая $BK$ проходит через центр описанной окружности треугольника…
В трапеции $ABCD$ (с основаниями $BC$ и $AD$) на сторонах $AB$ и $CD$ выбраны точки $K$ и $M$. Докажите, что если $\angle BAM=\angle CDK$, то $\angle BMA=\angle CKD$.
Пусть $AD$ — высота в прямоугольном треугольнике $ABC$, $\angle A=90^\circ$. Прямая, проходящая через центры окружностей, вписанных в треугольники $ABD$ и $ACD$, пересекает стороны $AB$ и $AC$ соответственно в точках…
Трапеция описана около окружности. Докажите, что хотя бы одна из её диагоналей образует с основанием угол не более $45^\circ$.
На плоскости заданы два луча $p$, $q$ с вершинами в точках $P$ и $Q$ соответственно. Две окружности — одна с центром на луче $p$, проходящая через точку $P$, и другая с центром на луче $q$,…
Пусть $h$ и $l$ — высота и биссектриса, проведённые из одной вершины треугольника, $R$ и $r$ — радиусы его описанной и вписанной окружностей. Докажите неравенство $\dfrac hl\ge\sqrt{\dfrac{2r}R}$.
Докажите, что если четырёхугольник вписан в окружность и описан около другой окружности, то прямая, проведённая через центры этих окружностей, проходит через точку пересечения диагоналей четырёхугольника.
Через одну точку внутри треугольника площади $S$ проведены три прямые так, что каждую сторону треугольника пересекает две из них (см. рисунок). Докажите, что для площадей $S_1$, $S_2$, $S_3$ трёх образовавшихся при этом треугольников…
Два квадрата $AKBM$ и $CNDL$ расположены на плоскости так, что $ABCD$ — выпуклый четырёхугольник, причём точки $K$ и $L$ лежат внутри этого четырёхугольника. Докажите, что площадь этого четырёхугольника равна…
В некоторой роще было $n\ge3$ скворечников, причём все расстояния между скворечниками различны. В каждом из них жило по скворцу. В какой-то момент некоторые из них покинули свои скворечники и перелетели в другие, так что снова в каждом скворечнике оказалось по скворцу. При этом, если…
Пусть $A_1$, $A_2$, $A_3$, $\ldots$ — некоторая последовательность точек на плоскости. Начав с некоторой точки $T_0$, построим последовательность $T_1$, $T_2$, $T_3$, $\ldots$, где…
Докажите (для любых чисел $a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $z$) неравенство $$\begin{gather*} ax+by+cz+\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)}\ge\\ \ge\frac23(a+b+c)(x+y+z). \end{gather*}$$
Из вершины $A$ квадрата $ABCD$ внутрь квадрата проведены два луча, на которые опущены перпендикуляры $BK$, $BL$, $DM$, $DN$ из вершин $B$ и $D$. Докажите, что отрезки $KL$ и…
Найдите углы остроугольного треугольника $ABC$, если известно, что его биссектриса $AD$ равна стороне $AC$ и перпендикулярна отрезку $OH$, где $O$ — центр описанной окружности, $H$ — точка пересечения высот…
На отрезке $AC$ взята точка $B$ и построены дуги: $\uduga{AC}=\alpha$ и $\uduga{BC}=\beta$, сумма градусных величин которых равна $\alpha+\beta=360^\circ$, лежащие в одной полуплоскости от прямой $AC$. Произвольная дуга $AB$ пересекает их в точках…
Внутри окружности лежит ещё две окружности, касающиеся внешней окружности в точках $A$ и $B$ соответственно и пересекающиеся между собой. Докажите, что если одна из точек пересечения лежит на отрезке $AB$, то сумма радиусов меньших окружностей равна…
На дуге $BC$ окружности, описанной около треугольника $ABC$ (не содержащей $A$), взята точка $K$. Пусть $NK$ и $MK$ — биссектрисы треугольников $AKB$ и $AKC$. Докажите, что прямая…
В основании пирамиды лежит правильный $n$-угольник $A_1A_2\ldots A_n$, $B$ — вершина пирамиды. Известно, что углы $BA_1A_2$, $BA_2A_3$, $\ldots$, $BA_{n-1}A_n$, $BA_nA_1$ равны. Докажите, что пирамида правильная.