Задача М841‍‍

Эта простая задача имеет несколько решений. Приведём только одно из них. Пусть $a$‍‍ и $b$‍‍ — длины катетов, $c$‍‍ — длина гипотенузы данного треугольника $ABC$‍;‍ $A_1$‍,‍ $B_1$‍‍ и $C_1$‍‍ — точки касания вписанной окружности со сторонами (см. рисунок). По теореме о равенстве касательных, проведённых к окружности из одной точки, $|AB_1|=|AC_1|$‍,‍ $|BC_1|=|BA_1|$‍‍ и $|CA_1|=|CB_1|$‍.‍ Отсюда следует, что $$ |AC_1|=\dfrac{c+b-a}{2},\quad|BC_1|=\dfrac{c+a-b}{2}. $$ Поэтому $$\begin{gathered} |AC_1|\cdot|BC_1|=\dfrac14(c+b-a)(c-(b-a))=\\ =\dfrac14(c^2-(b-a)^2)=\dfrac14(c^2-b^2-a^2+2ab)=\dfrac{ab}2=S_{\triangle ABC} \end{gathered}$$ (мы воспользовались теоремой Пифагора).

В случае произвольного треугольника $ABC$‍‍ аналогичная выкладка приводит к такой формуле: $$ S_{\triangle ABC}=|AC_1|\cdot|BC_1|\cdot\ctg\dfrac{\widehat C}2. $$

Пожалуй, первая задача 1984 года М841 — в ней требовалось доказать, что произведение длин отрезков, на которые гипотенуза прямоугольного треугольника делится точкой касания вписанной в него окружности, равно площади этого треугольника, — оказалась не только одной из самых простых, но и получила наибольшее число различных решений. Кроме опубликованного в «Кванте» №4 за 1984 г., приведём ещё одно, присланное Л. А. Штейнгарцем (руководителем математического кружка Тбилисского дворца пионеров), — по принципу древних «смотри!» (рис. 1); площадь треугольника $ABD$‍‍ равна площади прямоугольника $OEDF$‍,‍ поскольку треугольники одинакового цвета равны, т. е. $AT\cdot TB=OE\cdot OF=S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ABC}$‍.‍