В трапеции $ABCD$ (с основаниями $BC$ и $AD$) на сторонах $AB$ и $CD$ выбраны точки $K$ и $M$. Докажите, что если $\angle BAM=\angle CDK$, то $\angle BMA=\angle CKD$.
А. С. Меркурьев
Ленинградская городская математическая олимпиада (1988 год)
Пусть $O$ — точка пересечения продолжений боковых сторон $AB$ и $CD$ данной трапеции (см. рисунок). Выполним последовательно симметрию $S$ относительно биссектрисы угла $AOD$ и гомотетию $H$ с центром $O$ и коэффициентом $\dfrac{OD}{OA}$. При этом точка $A$ перейдёт в $D$ (см. рисунок), а точка $B$ — в $C$ $\Big($поскольку $\dfrac{OC}{OB}=\dfrac{OD}{OA}\Big)$, угол $OAM$ — в равный ему по условию угол $ODK$. Следовательно, точка $M$, лежащая на пересечении прямых $AM$ и $OD$, перейдёт в точку пересечения образов этих прямых — $DK$ и $OA$, т. е. в точку $K$. Итак, точки $A$, $M$, $B$ переходят, соответственно, в $D$, $K$, $C$, а значит, $\angle AMB=\angle DKC$.
Другое решение основано на том, что вокруг четырёхугольника $AKMD$, а следовательно, и вокруг $BKMC$, можно описать окружность.
