Два квадрата $AKBM$ и $CNDL$ расположены на плоскости так, что $ABCD$ — выпуклый четырёхугольник, причём точки $K$ и $L$ лежат внутри этого четырёхугольника. Докажите, что площадь этого четырёхугольника равна $\dfrac14(MN^2-KL^2)$.
Обозначим через $PQ$ и $EF$ средние линии четырёхугольника $ABCD$, как показано на рисунке 1; тогда его площадь $S$ вдвое больше площади $PEQF$. Общая площадь синих треугольников равна $\dfrac S2$:
$$
S_{PAE}+S_{QCE}=\dfrac{S_{BAD}}4+\dfrac{S_{BCD}}4=\dfrac S4=S_{PBF}+S_{QDE}.
$$
Таким образом,
$$
S=2S_{PEQF}=PQ\cdot EF\cdot\sin\alpha,\tag{1}
$$
где $\alpha$ — угол между прямыми $PQ$ и $EF$.
С другой стороны,
$$
\dfrac14(MN^2-KL^2)=\dfrac14(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{KL})\cdot(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{KL})=\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{v},\tag{2}
$$
где $\overrightarrow{v}=\dfrac12(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{LN})$, поскольку
$$
\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{KL}=(\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QN})
+(\overrightarrow{KP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QL})=2\overrightarrow{PQ},\tag{3}\\
$$
($\overrightarrow{KP}=-\overrightarrow{MP}$, $\overrightarrow{QL}=-\overrightarrow{QN}$), а $$
\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{KL}=(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KN})-(\overrightarrow{KN}+\overrightarrow{NL})
=\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{LN}.
$$
Докажем, что правые части формул (1) и (2) равны. Векторы $\overrightarrow{MK}$ и $\overrightarrow{LN}$ получаются из $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$ соответственно поворотом на $\dfrac\pi2$ в одном и том же направлении (на рисунке 2 — против часовой стрелки). Поэтому их полусумма $\overrightarrow{v}$ получается тем же поворотом из $\dfrac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})$. Но полусумма векторов, соединяющих концы двух отрезков, равна вектору, соединяющему середины этих отрезков, — мы уже доказали это для отрезков $MK$ и $NL$ (см. (3)), т. е. $\dfrac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})=\overrightarrow{EF}$. Итак, вектор $\overrightarrow{v}$ равен вектору $\overrightarrow{EF}$, повёрнутому на $\dfrac\pi2$. Следовательно, угол между векторами $\overrightarrow{PQ}$ и $\overrightarrow{v}$ равен $\dfrac\pi2\pm\alpha$ (напомним, что $\alpha$ — это угол между прямыми$PQ$ и $EF$). Но по условию угол $KPQ$, т. е. угол между векторами $\overrightarrow{PQ}$ и $\overrightarrow{MK}$, и угол $PQL$ — между $\overrightarrow{PQ}$ и $\overrightarrow{LN}$ — острые, поэтому $\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{v}=\dfrac{\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{LN}}2\gt0$, а значит, угол между $\overrightarrow{PQ}$ и $\overrightarrow{v}$ острый и равен $\dfrac\pi2-\alpha$. Теперь мы получаем, что $$
\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{v}=PQ\cdot|\overrightarrow{v}|\cdot\cos\left(\dfrac\pi2-\alpha\right)=PQ\cdot EF\cdot\sin\alpha=S,
$$
что и требовалось.
Попутно предлагаем доказать, что сумма $MN^2+KL^2$ равна сумме квадратов диагоналей $AC^2+BD^2$ данного четырёхугольника или удвоенной сумме квадратов средних линий $2(PQ^2+EF^2)$.
