«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
В окружность радиуса $R$ вписан $n$-угольник площадью $S$. На каждой стороне $n$-угольника отмечено по точке. Докажите, что периметр $n$-угольника с вершинами в отмеченных точках не меньше $\dfrac{2S}R$.
Пусть $A$, $B$, $C$ — вершины параллелепипеда, соседние с его вершиной $P$, а $Q$ — вершина, противоположная $P$. Докажите, что
В треугольник $ABC$ вписан подобный ему треугольник $A_1B_1C_1$ (вершины $A_1$, $B_1$, $C_1$, углов, равных по величине $\widehat{A}$, $\widehat{B}$, $\widehat{C}$, лежат, соответственно, на отрезках $BC$,…
На окружности отмечены $3k$ точек, разделяющих её на $3k$ дуг, из которых $k$ дуг имеют длину $1$, ещё $k$ дуг — длину $2$, и остальные $k$ дуг — длину $3$. Докажите, что среди…
Внутри тетраэдра выбрана точка $M$. Докажите, что хотя бы одно ребро тетраэдра видно из точки $M$ под углом, косинус которого не больше, чем $-\dfrac{1}{3}$.
Найдите отношение сторон прямоугольного треугольника, если известно, что одна половина гипотенузы (от вершины до середины гипотенузы) видна из центра вписанной окружности под прямым углом.
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ как на гипотенузах построены вне его прямоугольные треугольники $APB$ и $BQC$ с одинаковыми углами величины $\beta$ при их общей вершине $B$ (см. рис. 1).…
Докажите, что произведение длин отрезков, на которые гипотенуза прямоугольного треугольника делится точкой касания вписанной в него окружности, равно площади этого треугольника.
В вершинах треугольника $ABC$ восстановлены перпендикуляры $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ к его плоскости по одну сторону от неё, равные по длине соответствующим высотам треугольника. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки пересечения плоскостей…
На сторонах правильного шестиугольника взяты точки $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_6$ (рис. 1). Известно, что три попарно не смежные стороны шестиугольника $A_1\ldots A_6$ ($A_1A_2$, $A_3A_4$, $A_5A_6$) определяют треугольник…
Докажите, что
можно представить в виде разности двух многочленов, каждый из которых является монотонно возрастающей функцией.
Касательные к описанной вокруг треугольника $ABC$ окружности, проведённые в точках $A$ и $B$, пересекаются в точке $P$. Докажите, что прямая $PC$