Задачи по математике, стр. 6 / Задачи // Архив журнала «Квант»

Задача М51
Доказать, что если произведение трёх положительных чисел равно 1, а сумма этих чисел строго больше суммы их обратных величин, то ровно одно из этих чисел больше 1.
Задача М52
Пять отрезков таковы, что из любых трёх можно составить треугольник. Доказать, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.
Задача М53
В треугольнике $ABC$‍‍ через середину $M$‍‍ стороны $BC$‍‍ и центр $O$‍‍ вписанной в этот треугольник окружности проведена прямая $MO$‍,‍ которая пересекает высоту $AH$‍‍ в точке $E$‍.‍ Доказать, что…
Задача М54
Два равных между собой прямоугольника расположены так, что их контуры пересекаются в восьми точках. Доказать, что площадь общей части этих прямоугольников больше половины площади каждого из них.
Задача М55
Все натуральные числа, в десятичной записи которых не больше $n$‍‍ цифр, разбиты на две группы. В первую группу входят все числа с нечётной суммой цифр, во вторую — с чётной суммой цифр. Доказать, что если $1\le k\lt n$‍,‍ то сумма $k$‍‍-x степеней всех чисел…
Задача М56
На окружности выписаны в произвольном порядке четыре единицы и пять нулей. Затем в промежутке между двумя одинаковыми числами пишется единица, а между разными цифрами — нуль, а первоначальные цифры стираются. Доказать, что, сколько бы раз мы ни повторяли этот процесс, мы никогда не…
Задача М57
1. Найти число $k$‍,‍ которое делится на 2 и на 9 и имеет всего 14 делителей (включая 1 и $k$‍).‍
2. Доказать, что если заменить 14 на 15, то задача будет иметь несколько решений, а при замене 14 на 17 решений вообще не…
Задача М58
На плоскости даны три прямые, пересекающиеся в одной точке. На одной из них отмечена точка. Известно, что прямые являются биссектрисами некоторого треугольника, а отмеченная точка — одна из его вершин. Построить этот треугольник.
Задача М59
Имеется несколько гирь с весами 1 г, 2 г, 3 г, ..., $n$‍‍ г. Их надо разложить на три равные по весу кучки. При каких $n$‍‍ это удастся сделать?
Задача М60
Рассмотрим все натуральные числа, в десятичной записи которых участвуют лишь цифры 1 и 0. Разбейте эти числа на две группы так, чтобы сумма любых двух различных чисел из одной и той же группы содержала в своей десятичной записи не менее двух единиц.

Задачи по математике‍1347