Задача М57‍‍

Пусть $M=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\ldots p_r^{\alpha_r}$‍‍ — разложение числа $M$‍‍ на простые множители; для определённости будем считать, что $\alpha_1\ge\alpha_2\ge\ldots\ge\alpha_r\ge 1$‍.‍ Делители числа $M$‍‍ имеют вид $p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}\ldots p_r^{\beta_r}$‍,‍ где каждое $\beta_i$‍‍ независимо от остальных может принимать значения 0, 1, $\ldots$‍,‍ $\alpha_i$‍,‍ и поэтому общее количество делителей $M$‍‍ (включая 1 и $M$‍)‍ равно $(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\ldots(\alpha_r+1)$‍‍ (см. решение задачи 1 к статье «Комбинаторика»‍ в «Кванте» №1, 1971, стр. 19).

а) 14 можно разложить на множители только одним способом: $14=7\cdot2$‍,‍ поэтому, если $M$‍‍ имеет 14 делителей, то $r=2$‍,‍ $\alpha_1=6$‍,‍ $\alpha_2=1$‍.‍ Мы знаем ещё, что 3 входит в разложение $M$‍‍ с показателем, большим 1, а 2 — с показателем, большим 0. Отсюда следует, что $M=3^6\cdot 2=1458$‍.‍

б) Для 15 делителей возможны ответы $M=3^2\cdot2^4$‍‍ и $M=3^4\cdot2^2$‍,‍ а 17 делителей могут иметь только числа вида $M=p^{16}$‍,‍ где $p$‍‍ — простое.