В треугольнике $ABC$ через середину $M$ стороны $BC$ и центр $O$
вписанной в этот треугольник окружности проведена прямая $MO$,
которая пересекает высоту $AH$ в точке $E$.
Доказать, что отрезок $AE$ равен радиусу вписанной окружности.
Всесоюзная математическая олимпиада (1970 год, 10 класс)
Обозначим длины сторон треугольника, противолежащих вершинам $A$, $B$, $C$ через $a$, $b$, $c$ соответственно. Можно считать, что $b\gt c$ ($b\ne c$, так как иначе прямые $MO$ и $AH$ не пересекались бы, а совпадали). Опустим перпендикуляр $OP=r$ на $BC$ (рис. 2). Тогда
$$
\begin{gather*}
MC=\dfrac a2,\quad PC=\dfrac{a+b-c}{2},\quad HC=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a},\\
\dfrac{EH}{OP}=\dfrac{HM}{PM}=\dfrac{HC-MC}{PC-MC}=\dfrac{2HC-a}{b-c}=
\dfrac{a^2+b^2-c^2-a^2}{a(b-c)}=\dfrac{b+c}{a},\\
\dfrac{AE}{r}=\dfrac{AH}{r}-\dfrac{EH}{r}=\dfrac{a+b+c}{a}-\dfrac{b+c}{a}=1.
\end{gather*}
$$
Рис. 2
Другое, геометрическое решение этой задачи основано на такой лемме: если продолжить радиус $PO$ до диаметра $PQ$ вписанной окружности и провести прямую $AQ$ до пересечения в точке $R$ со стороной $BC$, то отрезки $BP$ и $CR$ будут равны. Предоставляем доказать и использовать эту лемму читателю.
