Условие задачи (1970, № 12) Задача М60 // Квант. — 1970. — № 12. — Стр. 32; 1971. — № 8. — Стр. 43.
Рассмотрим все натуральные числа, в десятичной записи которых участвуют лишь цифры 1 и 0. Разбейте эти числа на две группы так, чтобы сумма любых двух различных чисел из одной и той же группы содержала в своей десятичной записи не менее двух единиц.
Изображения страниц
Решение задачи (1971, № 8) Задача М60 // Квант. — 1970. — № 12. — Стр. 32; 1971. — № 8. — Стр. 43.
Отнесём к одной группе все числа, в записи которых нечётное число единиц, а к другой — все числа, в записи которых чётное число единиц. Тогда ясно, что в одну группу не могут попасть два числа, отличающиеся только в одном разряде, поэтому такое разбиение удовлетворяет требованиям задачи (единицы возникают в тех разрядах суммы, где у одного числа стоит 1, а у другого — нет).
Многие читатели привели рассуждение, доказывающее, что описанное разбиение: $$ \begin{array}{rrrrrrrrrr} \text{первая группа:}&1,&10,&100,&111,&1000,&1011,&1101,&1110,&\ldots\\ \text{вторая группа:}&11,&101,&110,&1001,&1010,&1100,&1111,&10001,&\ldots \end{array} $$ единственное, удовлетворяющее условиям задачи.