Задача М54‍‍

Пусть длины сторон прямоугольников $a$‍‍ и $b$‍.‍ Заметим, что на сторонах каждого из прямоугольников лежит ровно две точки пересечения с двумя ссседними сторонами другого. (Легко доказать, что если всего точек пересечения 8, то на каждой стороне должно лежать не меньше двух точек и что пересечение стороны одного прямоугольника с двумя параллельными сторонами другого невозможно). Пусть $A$‍‍ и $C$‍‍ — точки, в которых пересекаются стороны разных прямоугольников, равные $a$‍;‍ $B$‍‍ и $D$‍‍ — точки, в которых пересекаются стороны, равные $b$‍.‍ Тогда, очевидно, отрезок $AC$‍‍ служит биссектрисой угла между сторонами длины $a$‍,‍ проходящими через точку $A$‍‍ (для доказательства достаточно опустить на эти стороны перпендикуляры из точки $C$‍‍ и рассмотреть пару образовавшихся при этом равных треугольников). Точно так же $BD$‍‍ — биссектриса угла между сторонами длины $B$‍,‍ проходящими через точку $B$‍.‍ Следовательно, $AC\perp BD$‍,‍ и поэтому площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями $AC$‍‍ и $BD$‍‍ равна $\dfrac{AC\cdot BD}{2}$‍.‍ Поскольку $AC\ge b$‍‍ и $BD\ge a$‍,‍ даже эта площадь (и уж подавно вся площадь общей части прямоугольников) больше $\dfrac{ab}{2}$‍.‍

Как показывают письма читателей, самое трудное в подобной задаче — придумать безупречное рассуждение, которое годилось бы для всех возможных случаев расположения фигур, не зависело бы от особенностей чертежа. Поэтому мы намеренно не ссылались в решении на рисунок 3, чтобы подчеркнуть, что правильность решения можно проверить формально, не обращаясь ни к какому конкретному рисунку.