Задача М51 / Задачи // Архив журнала «Квант»

Условие задачи (1970, № 11) Задача М51 // Квант. — 1970. — № 11. — Стр. 27; 1971. — № 8. — Стр. 37.

Доказать, что если произведение трёх положительных чисел равно 1, а сумма этих чисел строго больше суммы их обратных величин, то ровно одно из этих чисел больше 1.

Всесоюзная математическая олимпиада (1970 год, 8 класс)

Открыть в номере

Изображения страниц

‍

Скачать PDF

Решение задачи (1971, № 8) Задача М51 // Квант. — 1970. — № 11. — Стр. 27; 1971. — № 8. — Стр. 37.

Пусть $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ — данные числа. Тогда $abc=1$‍‍ и $$ (a-1)(b-1)(c-1)=abc-ab-bc-ac+a+b+c-1=a+b+c-\dfrac1a-\dfrac1b-\dfrac1c\gt0, $$ следовательно, из трёх чисел $a-1$‍,‍ $b-1$‍,‍ $c-1$‍‍ два отрицательных, а одно положительное (все три не могут быть положительными, поскольку $abc=1$‍).‍

Н. Б. Васильев

Открыть в номере

Метаданные Задача М51 // Квант. — 1970. — № 11. — Стр. 27; 1971. — № 8. — Стр. 37.

Предмет

Математика

Решение

Васильев Н. Б.

Номера

1970. — № 11. — Стр. 27 [условие]

1971. — № 8. — Стр. 37 [решение]

Описание

Задача М51 // Квант. — 1970. — № 11. — Стр. 27; 1971. — № 8. — Стр. 37.

Ссылка

https://www.kvant.digital/problems/m51/