Задача М52‍‍

Из отрезков $x\le y\le z$‍‍ можно составить треугольник, если $z\lt x+y$‍,‍ причём он будет остроугольным, если $z^2\lt x^2+y^2$‍.‍ Предположим, что существуют пять отрезков $a_1\le a_2\le a_3\le a_4\le a_5$‍‍ таких, что из любых трёх составляется не остроугольный треугольник. Тогда $$ a_5^2\ge a_4^2+a_3^2,\quad a_4^2\ge a_3^2+a_2^2,\quad a_3^2\ge a_2^2+a_1^2, $$ и поэтому $$ a_5^2\ge 2a_3^2+a_2^2\ge3a_2^2+2a_1^2\ge a_2^2+2a_1a_2+a_1^2=(a_2+a_1)^2, $$ т. е. $a_5\ge a_2+a_1$‍‍ и, следовательно, из отрезков $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ $a_5$‍‍ нельзя составить треугольник.