«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Два мудреца играют в новую игру, состоящую в следующем. Выписаны числа 0, 1, 2, ..., 1024. Первый мудрец вычёркивает по своему выбору 512 чисел, второй вычёркивает 256 из оставшихся чисел, затем снова первый вычёркивает ещё 128, потом второй — ещё 64 числа и т. д. Своим последним пятым…
Докажите, что для любого нечётного числа $a$ найдется такое натуральное $b$, что $2^b-1$ делится на $a$.
Можно ли из 18 плиток размером $1\times 2$ выложить квадрат так, чтобы при этом не было ни одного прямого «шва», соединяющего противоположные стороны квадрата и идущего по краям плиток? (Например, такое расположение плиток, как на рисунке 1, не годится, так как здесь есть «шов»…
На плоскости даны прямая $l$ и две точки $P$ и $Q$, лежащие по одну сторону от неё. Найти на прямой $l$ такую точку $M$, для которой расстояние между основаниями высот треугольника $PQM$, опущенных на стороны…
а) Пусть $E$, $F$, $G$ — такие точки на сторонах $AB$, $BC$ и $CA$ треугольника $ABC$, для которых $$ \frac{AE}{EB}=\frac{BF}{FC}=\frac{CG}{GA}=k, $$ где $0\lt k\lt 1$. Найдите отношение площади треугольника, образованного…
Вот несколько примеров, когда сумма квадратов $k$ последовательных натуральных чисел равна сумме квадратов $k-1$ следующих натуральных чисел: $$\begin{gathered} 3^2+4^2=5^2,\\ 36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2,\\ 55^2+56^2+57^2+58^2+59^2+60^2=61^2+62^2+63^2+64^2+65^2. \end{gathered}$$
Найдите общую формулу, охватывающую все такие случаи.
Ювелиру заказано золотое колечко шириной $h$, имеющее форму тела, ограниченного поверхностью шара с центром $O$ и поверхностью цилиндра радиуса $r$, ось которого проходит через точку $O$ (рис. 1). Мастер сделал такое колечко, но выбрал…
Сетка линий, изображённая на обложке этого номера журнала, состоит из концентрических окружностей радиусов 1, 2, 3, 4, ... с центром в точке $O$, прямой $l$, проходящей через точку $O$, и всевозможных касательных к окружностям, параллельных…
Число 76 обладает таким любопытным свойством: последние две цифры числа $76^2=5776$ дают снова 76.
а) Есть ли ещё такие двузначные числа?
б) Найдите все трехзначные числа $A$ такие, у которых последние три цифры числа $A^2$ составляют число…
Пусть $l_1$, $l_2$, ..., $l_n$ — несколько прямых на плоскости, среди которых есть две пересекающихся. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точке $X_1$, $X_2$, ... так, чтобы перпендикуляр,…