Задача М59‍‍

Покажем, что это можно сделать в том и только в том случае, если $n\gt3$‍‍ и одно из чисел $n$‍‍ или $n+1$‍‍ делится на 3 (т. е. при $n$‍,‍ равном 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 15, $\ldots$‍).‍

Необходимость этих условий очевидна, поскольку общий вес гирь $1+2+3+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$‍‍ должен делиться на 3.

Для доказательства достаточно заметить сначала, что разбиение возможно при $n$‍,‍ равном 5, 6, 8 и 9 (это показано на рис. 7). Все остальные интересующие нас значения $n$‍‍ получаются из этих четырёх прибавлением некоторого количества шестёрок, а любую группу из шести последовательных целых чисел $a+1$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $a+6$‍‍ легко разбить на три пары чисел, дающих равные суммы: $a+1$‍‍ и $a+6$‍,‍ $a+2$‍‍ и $a+5$‍,‍ $a+3$‍‍ и $a+4$‍.‍