«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Дана окружность, её диаметр $AB$ и точка $C$ на этом диаметре. Построить на окружности две точки $X$ и $Y$, симметричные относительно диаметра $AB$, для которых прямая $YC$ перпендикулярна к прямой…
Цифры некоторого семнадцатизначного числа записываются в обратном порядке. Полученное число складывается с первоначальным. Доказать, что хотя бы одна из цифр их суммы будет чётной.
Каждая сторона правильного треугольника разбита на $n$ равных частей. Через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. В результате треугольник разбился на $n^2$ маленьких треугольничков (рис. 3). Назовем «цепочкой» последовательность…
Доказать, что для каждого натурального числа $K$ существует бесконечно много натуральных чисел $T$, не содержащих нулей в десятичной записи и таких, что $T$ и $KT$ имеют одинаковые суммы цифр.
Доказать, что из любых двухсот целых чисел можно выбрать сто чисел, сумма которых делится на 100.
Попробуйте обобщить эту задачу: докажите, что из любых $2n—1$ чисел можно выбрать $n$, сумма которых делится на $n$, где…
Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных по длине наибольшей диагонали?
Из цифр 1 и 2 составили пять $n$-значных чисел так, что у каждых двух чисел совпали цифры ровно в $m$ разрядах, но ни в одном разряде не совпали все пять чисел. Доказать, что $$ \frac{2}{5}\le \frac{m}{n}\le \frac{3}{5}. $$
В остроугольном треугольнике $ABC$ биссектриса $AD$, медиана $BM$, и высота $CH$ пересекаются в одной точке. Доказать, что угол $BAC$ больше $45^\circ$.
На карточках написаны все пятизначные числа от 11111 до 99999 включительно. Затем эти карточки положены в одну цепочку в произвольном порядке. Доказать, что получившееся $444\ 445$-значное число не может быть степенью двойки.
Вершины правильного $n$-угольника покрашены несколькими красками (каждая — одной краской) так, что точки одного и того же цвета служат вершинами правильного многоугольника. Доказать, что среди этих многоугольников найдется два равных.