На плоскости даны три прямые, пересекающиеся в одной точке.
На одной из них отмечена точка. Известно, что прямые являются
биссектрисами некоторого треугольника, а отмеченная точка — одна из его вершин.
Построить этот треугольник.
Е. Б. Дынкин, С. А. Молчанов, А. Л. Розенталь, А. К. Толпыго
Математические задачи. 3-е изд. – М.: Наука, 1971.
Первое решение. Предположим, что $O$ — точка пересечения биссектрис $AK$, $BL$ и $CM$ треугольника $ABC$ (рис. 5); тогда
$$
\angle MOB=\angle OCB+\angle OBC=\dfrac{1}{2}(\angle ACB+\angle ABC)=\dfrac\pi2-\angle CAK,
$$
т. е. $\angle CAK=\dfrac\pi2-\alpha$. Поэтому, если заданы прямые $AK$, $BL$, $CM$ и точка $A$, то, построив по одну и другую сторону от луча $AO$ углы, равные $\varphi=\dfrac\pi2-\alpha$, мы найдём искомые вершины $B$ и $C$ (при условии, что $\varphi\gt0$, $\varphi\lt\beta$ и $\varphi\lt\gamma$). Нужно ещё доказать, что у построенного треугольника $ABC$ прямые $BL$ и $CM$ идут по биссектрисам. Углы $ABL$ и $ACM$ легко подсчитать — они равны соответственно $\dfrac\pi2-\beta$ и $\dfrac\pi2-\gamma$. Трудность заключается лишь в доказательстве того, что $\angle LBC=\dfrac\pi2-\beta$ и $\angle MCA=\dfrac\pi2-\gamma$ (хотя ясно, что их сумма равна $\alpha$); её можно преодолеть, например, так: если $\angle LBC\lt\angle ACB$, то биссектриса угла $ABC$ пересекает отрезок $AO$, поэтому биссектриса угла $ACB$ тоже его пересекает, и значит, $\angle MCB\lt\angle ACM$, поэтому сумма $\angle LBC+\angle MBC$ меньше $\left(\dfrac\pi2-\beta\right)+\left(\dfrac\pi2-\gamma\right)=\alpha$. Точно так же можно показать, что невозможен случай $\angle LBC\gt\angle ABL$.
Рис. 5Рис. 6
Второе решение. Построим точки $A'$ и $A''$, симметричные данной точке $A$ относительно биссектрис, не проходящих через $A$. Ясно, что обе точки $A'$ и $A''$ должны лежать на прямой $BC$ — на стороне искомого треугольника $ABC$ (или на её продолжении). Проведя прямую через $A'$ и $A''$, мы тем самым найдём нужные точки $B$ и $C$ (рис. 6).
Заметим, что хотя второе решение более эффектно, но при таком подходе труднее выписать условия, при которых задача имеет решение. Эти условия таковы: $\alpha\lt\dfrac\pi2$, $\beta\lt\dfrac\pi2$, $\gamma\lt\dfrac\pi2$ (поскольку $\alpha+\beta+\gamma=\pi$, их можно записать и так: $\alpha+\beta\gt\dfrac\pi2$, $\beta+\gamma\gt\dfrac\pi2$, $\gamma+\alpha\gt\dfrac\pi2$. Если они выполнены, то решение единственно. Подумайте, как можно получить эти условия при каждом из изложенных выше способов решения.
