«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Докажите, что если $abc=4Rrr_c$, где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, $R$, $r$, $r_c$ — радиусы описанной, вписанной и одной из вневписанных окружностей, то треугольник прямоугольный. (Вневписанная…
На окружности с центром $O$ расположены точки $A$ и $B$. Точка $P$ находится на меньшей из дуг $AB$, точки $Q$ и $R$ симметричны точке $P$ относительно прямых $OA$ и…
Дана плоскость, пересекающая сферу с центром $O$ по окружности. На сфере по разные стороны от плоскости взяты точки $A$ и $B$, причём радиус $OA$ перпендикулярен данной плоскости. Через прямую $AB$ проводится произвольная…
Докажите, что число $\dfrac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ является составным.
Даны различные квадратные трёхчлены $f(x)$ и $g(x)$, старшие коэффициенты которых равны единице. Известно, что $f(1)+f(10)+f(100)=g(1)+g(10)+g(100)$. При каких $x$ выполнено равенство $f(x)=g(x)$?
На плоскости задан четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB=BC=CD=1 $. Положение точек $B$ и $C$ фиксировано, точки же $A$ и $D$ подвергаются следующим преобразованиям (сохраняющим длины отрезков $AB$,…
Назовём человека малообщительным, если у него менее 10 знакомых. Назовём человека чудаком, если все его знакомые малообщительны. Докажите, что количество чудаков не больше количества малообщительных.
По контуру каждой грани выпуклого многогранника ползает муравей (таким образом, муравьёв столько же, сколько граней), и все они движутся, обходя свою грань по часовой стрелке. Известно, что их скорости в любой момент времени не меньше 1 мм/ч. Докажите, что рано или поздно какие-то два…
Внутри правильного тетраэдра с ребром $a$ летает муха. Какой наименьший замкнутый путь должна пролететь муха, чтобы побывать на всех гранях тетраэдра?
На дуге $BC$ окружности, описанной около треугольника $ABC$ (не содержащей $A$), взята точка $K$. Пусть $NK$ и $MK$ — биссектрисы треугольников $AKB$ и $AKC$. Докажите, что прямая…