«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Докажите, что для любых натуральных $m$, $d$, $k$ найдётся натуральное $n$ такое, что $$ \left(\sqrt{m}+\sqrt{m+d}\right)^k=\sqrt{n}+\sqrt{n+d^k}. $$
Рассмотрим последовательность $a_1=1$, $a_2=2$, $a_3=3$, $a_4=4$, $a_5=5$, $a_6=119$, $a_{n+1}=a_1a_2\ldots a_n-1$ при $n\ge 5$. Докажите, что $$ a_1^2+a_2^2+\ldots+a_{70}^2=a_1a_2\ldots a_{70}. $$
Пусть $P$ — точка пересечения диагоналей описанного четырёхугольника $ABCD$. Докажите, что центры окружностей, вписанных в треугольники $ABP$, $BCP$, $CDP$, $DAP$, лежат на одной окружности.
Пусть $A$, $B$, $C$ и $D$ — четыре различные точки на прямой, расположенные в указанном порядке. Окружности с диаметрами $AC$ и $BD$ пересекаются в точках $X$ и $Y$. Прямые…
Пусть $a$, $b$, $c$ — положительные числа такие, что $abc=1$. Докажите, что $$ \dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)}\ge \dfrac{3}{2}. $$
Найдите все целые $n\gt3$, для которых существуют $n$ точек $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$ на плоскости, и действительные числа $r_1$, $r_2$, $\ldots$, $r_n$, удовлетворяющие…
Найдите наибольшее значение $x_0$, для которого существует последовательность положительных чисел $x_0$, $x_1$, $\ldots$, $x_{1995}$, удовлетворяющая следующим двум условиям:
Пусть $ABCDEF$ — выпуклый шестиугольник, в котором $AB=BC=CD$, $DE=EF=FA$ и $\angle BCD=\angle EFA=60^\circ$. Пусть $G$ и $H$ — две точки внутри шестиугольника такие, что $$ \angle AGB=\angle DHE=120^\circ.\tag{*} $$
На плоскости дан квадрат и невидимая точка $Р$. Разрешается провести любую прямую и спросить, по какую сторону от неё (или на самой прямой) лежит $Р$. За какое наименьшее число вопросов можно выяснить, лежит ли $Р$ внутри квадрата?
Существуют ли
таких, что сумма любых трёх из них — простое число?