«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
В некотором государстве человек может быть зачислен в гвардию только в том случае, если он выше ростом, чем 80 % (или больше) его соседей. Чтобы доказать своё право на зачисление в гвардию, человек сам называет число $R$ (радиус), после чего его «соседями» считаются все,…
Дан выпуклый многоугольник, никакие две стороны которого не параллельны. Для каждой из его сторон рассмотрим угол, под которым она видна из вершины, наиболее удалённой от прямой, содержащей эту сторону. Докажите, что сумма всех таких углов равна $180^\circ$.
Можно ли прямоугольник $5\times7$ покрыть уголками из трёх клеток (т. е. фигурками, которые получаются из квадрата $2\times2$ удалением одной клетки), не выходящими за его пределы, в несколько слоёв так, чтобы каждая клетка прямоугольника была покрыта одинаковым числом клеток,…
Докажите, что если числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_m$ отличны от нуля и для любого целого $k=0$, 1, $\ldots$, $n$ ($n\lt m-1$) $$ a_1+a_2\cdot2^k+a_3\cdot3^k+\ldots+a_m\cdot m^k=0, $$ то в последовательности $a_1$,…
Существует ли такое конечное множество $M$ ненулевых вещественных чисел, что для любого натурального $n$ найдётся многочлен степени не меньше $n$ с коэффициентами из множества $M$, все корни которого вещественны и также принадлежат…
В строку в неизвестном порядке записаны все целые числа от 1 до 100. За один вопрос про любые 50 чисел можно узнать, в каком порядке относительно друг друга записаны эти 50 чисел. За какое наименьшее число вопросов наверняка можно узнать, в каком порядке записаны все 100 чисел?
В Думе 1600 депутатов, которые образовали 16000 комитетов по 80 человек в каждом. Докажите, что найдутся два комитета, имеющие не менее четырёх общих членов.
Докажите, что при $n\ge5$ сечение пирамиды, в основании которой лежит правильный $n$-угольник, не может являться правильным $(n+1)$-угольником.
Придумайте многочлен с рациональными коэффициентами, минимальное значение которого равно
Три пары диаметрально противоположных точек сферы — вершины выпуклого многогранника с шестью вершинами. Один из его двугранных углов — прямой. Докажите, что у него ровно 6 прямых двугранных углов.