Пусть $A$, $B$, $C$ и $D$ — четыре различные точки на прямой, расположенные в указанном порядке. Окружности с диаметрами $AC$ и $BD$ пересекаются в точках $X$ и $Y$. Прямые $XY$ и $BC$ пересекаются в точке $Z$. Пусть $P$ — точка на прямой $XY$, отличная от $Z$. Прямая $CP$ пересекает окружность с диаметром $AC$ в точках $C$ и $M$, а прямая $BP$ пересекает окружность с диаметром $BD$ в точках $B$ и $N$. Докажите, что прямые $AM$, $DN$ и $XY$ пересекаются в одной точке.
Это, конечно, очень простая задача. Вот два коротких решения.
1) Пусть $AM$ пересекает $XY$ в точке $Q$ (см. рисунок). Прямоугольные треугольники $AQZ$, $ACM$ и $PCZ$ подобны (у первой пары общий угол $A$, у второй — $C$). Поэтому $\dfrac{QZ}{AZ}=\dfrac{CZ}{PZ}$, т. е. $QZ=AZ\cdot\dfrac{CZ}{PZ}$. Но прямая $DN$ пересекает $XY$ на том же расстоянии от $Z$, поскольку по свойству пересекающихся хорд (мы использовали его в конце решения М1524)
$$
AZ\cdot CZ=XZ\cdot YZ=BZ\cdot DZ.
$$
2) Здесь также используется последнее равенство.
Пусть $H$ — точка пересечения высот треугольника $BPC$. При гомотетии с центром $Z$ и коэффициентом $\dfrac{AZ}{BZ}=\dfrac{DZ}{CZ}$ прямая $BH$ переходит в прямую $AM$, $CH$ — в $DN$, а значит, $H$ переходит в точку $Q$, где встречаются $AM$, $XY$ и $DN$.
