Задачи, стр. 146 // Архив журнала «Квант»

Задача М1565
В строку в неизвестном порядке записаны все целые числа от 1 до 100. За один вопрос про любые 50 чисел можно узнать, в каком порядке относительно друг друга записаны эти 50 чисел. За какое наименьшее число вопросов наверняка можно узнать, в каком порядке записаны все 100 чисел?
Задача М1566
В Думе 1600 депутатов, которые образовали 16000 комитетов по 80 человек в каждом. Докажите, что найдутся два комитета, имеющие не менее четырёх общих членов.
Задача М1568
Докажите, что при $n\ge5$‍‍ сечение пирамиды, в основании которой лежит правильный $n$‍‍-угольник, не может являться правильным $(n+1)$‍‍-угольником.
Задача М1569
Придумайте многочлен с рациональными коэффициентами, минимальное значение которого равно
1. $-\sqrt{2}$‍,‍
2. $\sqrt{2}$‍.‍
3. Докажите, что многочлена 4-й степени, удовлетворяющего условиям задачи б), не…
Задача М1570
Три пары диаметрально противоположных точек сферы — вершины выпуклого многогранника с шестью вершинами. Один из его двугранных углов — прямой. Докажите, что у него ровно 6 прямых двугранных углов.
Задача М1580
Можно ли несколькими отрезками и дугами разрезать круг на части так, чтобы сложить из этих частей равновеликий квадрат?
Задача М1591
В треугольнике $ABC$‍‍ проведены биссектрисы $BL$‍‍ и $AK$‍.‍ Оказалось, что $KL$‍‍ — биссектриса треугольника $AKC$‍.‍ Найдите угол $BAC$‍.‍
Задача М1592
Можно ли представить число $1997^{1997}$‍‍ в виде суммы кубов нескольких идущих подряд целых чисел?
Задача М1593
Имеется набор гирек:
1. 1, 2, 4, 8, 16 граммов,
2. 1, 2, 4, $\ldots$‍,‍ $2^9=512$‍‍ граммов.
Разрешается класть гирьки на обе чашки весов. Какие грузы можно взвесить наибольшим числом способов?
Задача М1594
Известно, что $f(x\,f(y))=f(x)\,y$‍,‍ где $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$‍.‍
1. Докажите, что $f(xy)=f(x)\,f(y)$‍.‍
2. Придумайте три функции, удовлетворяющие условиям задачи.

Задачник «Кванта»‍1550