«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Найдите наибольшее значение $x_0$, для которого существует последовательность положительных чисел $x_0$, $x_1$, $\ldots$, $x_{1995}$, удовлетворяющая следующим двум условиям:
Пусть $ABCDEF$ — выпуклый шестиугольник, в котором $AB=BC=CD$, $DE=EF=FA$ и $\angle BCD=\angle EFA=60^\circ$. Пусть $G$ и $H$ — две точки внутри шестиугольника такие, что $$ \angle AGB=\angle DHE=120^\circ.\tag{*} $$
Пусть $p$ — нечётное простое число. Найдите количество подмножеств $A$ множества $\{1,2,{\ldots},2p\}$ таких, что
На плоскости дан квадрат и невидимая точка $P$. Разрешается провести любую прямую и спросить, по какую сторону от неё (или на самой прямой) лежит $P$. За какое наименьшее число вопросов можно выяснить, лежит ли $P$ внутри квадрата?
Существуют ли
таких, что сумма любых трёх из них — простое число?
На плоскости даны три точки $A$, $B$, $C$. Проведите через $C$ прямую, произведение расстояний до которой от $A$ и $B$ наибольшее. Всегда ли такая прямая единственна?
Докажите, что для любых положительных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$ , $a_n$ справедливо неравенство $$ a_1+a_2+\ldots+a_n-n\sqrt[\scriptstyle n~]{a_1a_2\ldots a_n}\ge(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_n})^2. $$
Куб с ребром 1 надо обшить (в один слой) куском ткани.
(Напомним, что многоугольник на плоскости ограничен несамопересекающейся замкнутой ломаной.)
Про $n$ чисел, произведение которых равно $p$, известно, что разность между $p$ и каждым из этих чисел — нечётное целое число. Докажите, что все эти $n$ чисел иррациональны.