Задача М1532‍‍

а) Ответ утвердителен. Пример: 1, 3, 7, 9. Вот ещё один пример, в котором сами исходные числа — тоже простые: 7, 13, 23, 53.

б) Ответ отрицателен: среди любых пяти целых чисел либо найдутся три, дающих одинаковые остатки при делении на 3, либо найдутся три, дающих попарно различные остатки при делении на 3.

в) Ответ: да. Приведём два примера.

1. $-9$‍,‍ $-3$‍,‍ 15, 25, 31; соответствующие суммы: 3, 13, 19, 31, 37, 47, 37, 43, 53, 71.
2. $-11$‍,‍ $-5$‍,‍ 19, 23, 29; соответствующие суммы: 3, 7, 31, 37, 13, 37, 41, 43, 47, 71.

Для построения таких примеров удобно предварительно доказать, что любые пять чисел, удовлетворяющих условиям пункта в), нечётны.

г) Ответ: нет. Заметим, что если $a_1\lt\ldots\lt a_6$‍,‍ то $a_1+a_2+a_3$‍‍ и $a_1+a_2+a_4$‍‍ — две наименьшие из сумм троек чисел. Значит, любая из остальных сумм больше 3. Рассмотрим теперь остатки от деления на 3 сумм троек из чисел $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $a_6$‍.‍ Сумма некоторых трёх из этих чисел делится на 3 (см. решение пункта б)). Так как эта сумма больше 3, то она — составное число.