«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Найдите наименьшую возможную длину суммы семи единичных векторов с неотрицательными координатами на плоскости $Oxy$.
Можно ли разбить пространство:
Докажите, что для всех наборов $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$, $0\lt x_1\le x_2\le\ldots\le x_n$, выражение $$ x_2^{k}(x_1-x_3)+x_3^{k}(x_2-x_4)+\ldots+x_1^{k}(x_n-x_2) $$ неотрицательно при $k\gt 1$ и неположительно при $0\lt k\lt 1$.
Можно ли из чисел 1, $\dfrac12$, $\dfrac13$, $\ldots$ выбрать последовательность:
в которой каждое число равно разности двух…
Пусть $H$ — точка пересечения высот, $O$ и $I$ — центры описанной и вписанной окружностей неравностороннего треугольника. Докажите, что из трёх отрезков $OH$, $IH$, $OI$ наибольший — $OH$.
Для каких прямоугольников $m\times n$ на клетчатой бумаге, в клетках которых расставлены нули и единицы, можно получить из любой расстановки любую другую, если разрешается изменять числа одновременно в каждой строке, каждом столбце и на каждой прямой, параллельной диагоналям клеток (в…
Пусть $x$, $y$, $z$ — длины сторон треугольника, периметр которого меньше $\pi$. Докажите, что
Докажите, что в любой компании из 50 человек обязательно найдутся двое, имеющие среди остальных членов компании чётное число (быть может, 0) общих знакомых.
Про числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ известно, что для всех $x$ $$ |a_1\sin x+a_2\sin2x+\ldots+a_n\sin nx|\le|\sin x|. $$ Докажите, что $|a_1+2a_2+\ldots+na_n|\le1$.