Раскрывая скобки и собирая вместе члены, содержащие одинаковые корни, увидим, что при нечётном $k$
$$
(\sqrt{m+d}+\sqrt{m\vphantom d})^k=p_k\sqrt{m+d}+q_k\sqrt{m\vphantom d},\tag1
$$
а при чётном $k$
$$
(\sqrt{m+d}+\sqrt{m\vphantom d})^k=p_k+q_k\sqrt{m(m+d)},\tag2
$$
где $p_k$ и $q_k$ — целые числа (они выражаются многочленами от $m$ и $d$ с целыми коэффициентами). Заменим в этих выкладках всюду $\sqrt m$ на $-\sqrt m$. Получим соответствующие формулы, «сопряжённые» (1) и (2):
$$
\begin{gather*}
(\sqrt{m+d}-\sqrt{m\vphantom d})^k=p_k\sqrt{m+d}-q_k\sqrt{m\vphantom d},\tag{1′}\\
(\sqrt{m+d}-\sqrt{m\vphantom d})^k=p_k-q_k\sqrt{m(m+d)},\tag{2′}
\end{gather*}
$$
с теми же самыми $p_k$ и $q_k$ (поскольку $(\sqrt m)^2=(-\sqrt m)^2=m$). Умножим (1) на (1′):
$$
(m+d-m)^k=d^k=p_k^2(m+d)-q_k^2m.
$$
Таким образом, достаточно положить (для нечётного $k$) $n=q_k^2m$ — при этом $p_k^2(m+d)=n+d^k$ — и из (1) следует нужное равенство.
Аналогично, умножив (2) на (2′), для чётного $k$ получим
$$
d^k=p_k^2-q_k^2m(m+d),\quad n=q_k^2m(m+d),
$$
так что в этом случае $\sqrt{n+d^k}=p_k$ — целое число.
Очень советуем проделать эти выкладки на частном примере, скажем, взяв $m=5$, $m+d=7$, $k$ равным 2, 3, 4, и всё станет ясно.
Замечание. Конечно, число $n$ находится однозначно из равенства в условии задачи, поскольку уравнение $a=\sqrt{x+b}+\sqrt{x\vphantom b}$ имеет (при положительных $a=(\sqrt{m+d}+\sqrt{m\vphantom d})^k$, $b=d^k$, $b\lt a^2$) единственное решение, которое легко явно выписать: уравнение сводится к линейному $4a^2x=(a^2-b^2)^2$. Трудно только доказать, что это $x=n$ — целое; но и тут помогает рассмотрение «сопряжённых» чисел: ведь
$$
\dfrac d{\sqrt{m+d}+\sqrt{m\vphantom d}}=\sqrt{m+d}-\sqrt{m\vphantom d}.
$$
На этом пути можно получить несколько иное доказательство.
