Найдите наибольшее значение $x_0$, для которого существует последовательность положительных чисел $x_0$, $x_1$, $\ldots$, $x_{1995}$, удовлетворяющая следующим двум условиям:
$x_0=x_{1995}$;
$x_{i-1}+\dfrac2{x_{i-1}}=2x_i+\dfrac1{x_i}$ для всех $i=1$, 2, $\ldots$, 1995.
Условие (ii) означает, что $x_i$ — один из двух корней квадратного уравнения
$$
x^2-\left(\dfrac{x_{i-1}}2+\dfrac1{x_{i-1}}\right)x+\dfrac12=0,
$$
т. е. $x_i=\dfrac{x_{i-1}}2$ или $x_i=\dfrac1{x_{i-1}}$. Собственно, это и есть основное соображение. Постараемся изложить остальную, техническую‚ часть решения наглядно.
Рис. 1Рис. 2
Путь по табличке из двух рядов (рис. 1), состоящий из 1995 шагов, согласно условию (i), должен, начавшись в числе $x_0$, окончиться на равном ему числе. Поскольку в каждом ряду числа различны, а из-за нёчетности 1995 путь не может быть замкнутым, $x_{1995}=x_0$ должно встретиться в нижнем ряду; более того, все числа в чёрных рамочках в верхнем ряду должны равняться числам в цветных рамочках в нижнем, а поскольку ряды растут в противоположные стороны и $x_0=2^k$ при некотором $k$, то среди этих чисел должна встречаться единица, так что рисунок 1 превращается в рисунок 2 (здесь также сплошной стрелкой изображён шаг «деление пополам» и пунктиром — «обращение»). Ясно, что выгоднее всего взять $x_0=2^{997}$, сделать 1994 шага вправо и единственным обращением вернуться к $x_0$; при бóльших $x_0$ вернуться назад за 1995 шагов не удастся.
