Задача М1531‍‍

Ответ: за 3 вопроса.

Сначала проведём диагональ $AC$‍.‍ Если окажется, что $P$‍‍ лежит от неё по ту же сторону, что и вершина $B$‍,‍ достаточно будет узнать, по какую сторону от прямых $AB$‍‍ и $BC$‍‍ лежит точка $P$‍‍ (рис. 1).

Двух вопросов явно недостаточно: пересечением двух полуплоскостей, где может лежать точка $P$‍,‍ окажется неограниченная область — угол, так что нельзя будет (ни при каких ответах) утверждать, что точка лежит внутри квадрата (рис. 2).

Для аналогичной задачи про выпуклый $2^k$‍‍-угольник (а тем самым, и про $n$‍‍-угольник, где $n\le2^k$‍)‍ достаточно $k+1$‍‍ вопросов; здесь работает идея «дихотомии» — деления пополам: первым вопросом мы выясняем, по какую сторону от прямой, соединяющей 1-ю вершину с «противоположной» ($2^{k-1}+1$‍)‍-й, лежит точка $P$‍,‍ и (по индукции) сводим задачу к аналогичной для $2^{k-1}$‍‍-угольника.

Аналогичные задачи в пространстве сложнее, но и там полезна идея «дихотомии» (именно она оказалась ключевой в вызвавших несколько лет назад определённую сенсацию работах А. Хочияна и др., где вопреки ожиданиям было обнаружено, что некоторые задачи линейного программирования имеют полиномиальную сложность, т. е. решаются значительно быстрее, чем полным перебором).