«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
На плоскости задан четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB=BC=CD=1 $. Положение точек $B$ и $C$ фиксировано, точки же $A$ и $D$ подвергаются следующим преобразованиям (сохраняющим длины отрезков $AB$,…
Назовём человека малообщительным, если у него менее 10 знакомых. Назовём человека чудаком, если все его знакомые малообщительны. Докажите, что количество чудаков не больше количества малообщительных.
По контуру каждой грани выпуклого многогранника ползает муравей (таким образом, муравьёв столько же, сколько граней), и все они движутся, обходя свою грань по часовой стрелке. Известно, что их скорости в любой момент времени не меньше 1 мм/ч. Докажите, что рано или поздно какие-то два…
Внутри правильного тетраэдра с ребром $a$ летает муха. Какой наименьший замкнутый путь должна пролететь муха, чтобы побывать на всех гранях тетраэдра?
На дуге $BC$ окружности, описанной около треугольника $ABC$ (не содержащей $A$), взята точка $K$. Пусть $NK$ и $MK$ — биссектрисы треугольников $AKB$ и $AKC$. Докажите, что прямая…
Докажите для положительных чисел $x_1\le x_2\le \ldots \le x_n$ ($n\gt2$) неравенство $$ \dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_3}+\ldots+\dfrac{x_n}{x_1}\ge\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{x_3}{x_2}+\ldots+\dfrac{x_1}{x_n}. $$
Каждая сторона $A_kA_{k+1}$ выпуклого $n$-угольника $A_1A_2\ldots A_n$ ($n\gt4$) продлевается на равную ей длину $A_{k+1}B_k=A_kA_{k+1}$. Докажите, что площадь полученного $n$-угольника $B_1B_2\ldots B_n$ не более чем в 5 раз превосходит площадь…
Три числа $x$, $y$, $z$ удовлетворяют условиям $x+y+z=0$, $xyz=2$. Найдите максимум величины $\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}$.
В основании пирамиды лежит правильный $n$-угольник $A_1A_2\ldots A_n$, $B$ — вершина пирамиды. Известно, что углы $BA_1A_2$, $BA_2A_3$, $\ldots$, $BA_{n-1}A_n$, $BA_nA_1$ равны. Докажите, что пирамида правильная.
На доске написано $n$ выражений вида $*x^2+*x+*=0$ ($n$ — нечётное число). Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается заменить одну из звёздочек числом, не равным нулю. Через $3n$ ходов получится $n$ квадратных…