«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
На прямоугольном экране размером $m\times n$, разбитом на единичные клетки, светятся более $(m-1)(n-1)$ клеток. Если в каком-либо квадрате $2\times 2$ не светятся три клетки, то через некоторое время погаснет и четвёртая. Докажите, что тем не менее на экране всегда будет…
Из многоугольника можно получить новый многоугольник с помощью следующей операции: разрезав его по отрезку на 2 части, одну из частей перевернуть и приставить к другой части по линии разреза, если при этом части не будут иметь общих точек, кроме точек разреза. Можно ли с помощью нескольких таких…
Числа $\alpha$ и $\beta$ удовлетворяют равенствам $$\begin{gather*} \alpha^3-3\alpha^2+5\alpha=1,\\ \beta^3-3\beta^2+5\beta=5. \end{gather*}$$ Найдите $\alpha+\beta$.
На доске выписаны $n$ чисел. Разрешается стереть любые два из них, скажем $a$ и $b$, и вместо них записать одно число $\dfrac{a+b}4$. Эта операция повторяется $n-1$ раз, и в результате на доске остаётся одно число. Докажите, что если на…
Треугольник имеет целые длины сторон $x$, $y$, $z$, причём известно, что длина одной из его высот равна сумме длин двух других высот. Докажите, что $x^2+y^2+z^2$ — квадрат целого числа.
Ладья побывала во всех клетках шахматной доски размерами $n\times n$ клеток. Докажите, что она должна была при этом изменить направление движения не менее $2n-2$ раз. (Ладья движется параллельно сторонам квадрата.)
Последовательность $(a_n)$ определяется по следующим правилам: $$ a_0=9,\ a_{k+1}=3a_k^4+4a_k^3, \quad\text{для любого } k \gt 0. $$ Докажите, что $a_{10}$ содержит более 1000 девяток (в десятичной записи).
Отрезки $AK$, $BM$, $CN$, $DL$ делят квадрат $ABCD$ со стороной 1 на четыре треугольника с площадями $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$ и пять четырёхугольников (рис. 1); площадь…
Из бумаги склеены два одинаковых правильных тетраэдра. Какое наименьшее число рёбер этих тетраэдров придётся разрезать, чтобы затем склеить их по разрезанным рёбрам в один правильный октаэдр?
Пусть $m$, $n$ и $k$ — натуральные числа, причём $m\gt n$. Какое из двух чисел больше —