«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Прямая отрезает от правильного $2n$-угольника со стороной 1 треугольник $APQ$ так, что $AP+AQ=1$ ($A$ — вершина $2n$-угольника). Найдите сумму углов, под которыми отрезок $PQ$ виден из всех вершин…
Все натуральные числа раскрашены в два цвета — чёрный и белый. Известно, что сумма чёрного и белого — чёрная, а произведение чёрного и белого — белое.
Вершины $A$, $B$ и $B$, $C$ треугольника $ABC$ служат соответственными вершинами двух подобных друг другу параллелограммов $ABDE$ и $BCFG$, построенных на сторонах $AB$ и…
Докажите, что любой отрезок числовой оси можно разбить на несколько чёрных и белых отрезков так, что суммы интегралов
по белым и по чёрным…
На плоскости даны две пересекающиеся окружности. Точка $A$ — одна из двух точек пересечения этих окружностей. В каждой окружности проведён диаметр, параллельный касательной в точке $A$ к другой окружности, причём эти диаметры не пересекаются. Докажите, что концы…
Известно, что $f(x)$, $g(x)$ и $h(x)$ — квадратные трёхчлены. Может ли уравнение $f(g(h(x)))=0$ иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8?
Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке. Докажите, что эта точка, основание одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении $2:1$, считая от вершин, лежат на одной сфере.
Даны многочлены $P(x)$ и $Q(x)$, у которых старшие коэффициенты равны 1. Докажите, что сумма квадратов коэффициентов многочлена $P(x)Q(x)$ не меньше суммы квадратов свободных членов $P(x)$ и $Q(x)$.
В парламент выбрано 256 депутатов. Каждый из них ответил на 8 вопросов анкеты (требующих ответов «да» или «нет») и выяснилось, что никакие двое не ответили одинаково на все вопросы. Можно ли их рассадить на 256 стульев, расставленных в квадрате $16\times16$ так, чтобы ответы каждого…