«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Внутри квадрата $A_1 A_2 A_3 A_4$ взята произвольная точка $P$. Из вершины $A_1$, опущен перпендикуляр на прямую $A_2P$, из вершины $A_2$ — на $A_3P$, из $A_3$ — на $A_4P$, из $A_4$ — на…
На кольцевой автомобильной дороге стоят несколько одинаковых автомашин. Известно, что если бы весь бензин, имеющийся в этих автомашинах, слили в одну, то эта машина смогла бы проехать по всей кольцевой дороге и вернуться на прежнее место. Докажите, что хотя бы одна из машин, стоящих на дороге,…
Докажите, что числа 1, 2, ..., $n$ ни при каком $n$ нельзя разбить нa две группы так, чтобы произведение чисел в одной группе равнялось произведению чисел в другой.
Пусть $A$ — основание перпендикуляра, опущенного из центра данной окружности на данную прямую $l$.
На этой прямой взяты еще две точки $B$ и $C$ так, что $AB+AC$.
Через точки $B$ и…
Докажите, что если $a_1$, $a_2$, ..., $a_m$ — попарно различные натуральные числа, ни одно из которых не делится на квадрат целого числа, большего единицы, а $b_1$, $b_2$, ..., $b_m$ — целые числа, отличные от нуля,…
Дно прямоугольной коробки было выложено плитками размера $2 \times 2$ и $1 \times 4$. Плитки высыпали из коробки и при этом потеряли одну плитку $2 \times 2$. Вместо неё удалось достать плитку $1 \times 4$. Докажите, что теперь выложить дно коробки плитками не удастся.
Докажите, что если три окружности одинакового радиуса проходят через одну точку, то три другие точки попарного пересечения этих окружностей лежат на окружности того же радиуса (рис. 1).
Какому условию должны удовлетворять коэффициенты $a$, $b$, $c$ уравнения $x^3+ax^2+bx+c=0$, чтобы три его корня составляли арифметическую прогрессию?
Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике, кроме параллелограмма, можно выбрать такие три стороны, при продолжении которых образуется треугольник, объемлюший данный многоугольник. (Например, на рисунке 2, где многоугольник обведён чёрной линией, три красные прямые удовлетворяют…
Докажите, что если $x_1 \lt x_2 \lt x_3 \lt \ldots$ — натуральные числа, то $$ \frac{\sqrt{x_2-x_1}}{x_2} + \frac{\sqrt{x_3-x_2}}{x_3}+ \ldots + \frac{\sqrt{x_n-x_{n-1}}}{x_n} \lt 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n^2-1}+\frac{1}{n^2}. $$