Задача М84‍‍‍

Пусть $A$‍‍ — основание перпендикуляра, опущенного из центра данной окружности на данную прямую $l$‍.‍ На этой прямой взяты ещё две точки $B$‍‍ и $C$‍‍ так, что $AB=AC$‍.‍ Через точки $B$‍‍ и $C$‍‍ проведены две произвольные секущие, из которых одна пересекает окружность в точках $P$‍‍ и $Q$‍,‍ вторая — в точках $M$‍‍ и $N$‍.‍ Пусть прямые $PM$‍‍ и $QN$‍‍ пересекают прямую $l$‍‍ в точках $R$‍‍ и $S$‍.‍ Докажите, что $AR=AS$‍.‍

Эту задачу (или некоторые eё вaрианты) называют иногда «задачей о бабочке»; происхождение такого названия ясно из рисунка 1.