Задачи по математике, стр. 10 / Задачи // Архив журнала «Квант»

Задача М91
Двое играют в «крестики» и «нолики» на бесконечном листе клетчатой бумаги. Начинающий ставит крестик в любую клетку. Каждым следующим своим ходом он должен ставить крестик в любую свободную клетку, соседнюю с одной из клеток, где уже стоит крестик; соседней с данной клеткой считается любая,…
Задача М92
Петя собирается все 90 дней каникул провести в деревне и при этом строго придерживаться такого распорядка: каждый второй день (то есть через день) ходить купаться на озеро, каждый третий — ездить в магазин за продуктами и каждый пятый день решать задачи по математике. (В первый день Петя…
Задача М93
Каждое из чисел $x_1$‍,‍ ..., $x_n$‍‍ равно плюс или минус единице. Известно, что $$ x_1x_2+x_2x_3+\ldots+x_{n-1}x_n+x_nx_1=0. $$ Докажите, что $n$‍‍ делится на 4.
Задача М94
Докажите, что не существует многогранника, у которого к каждой вершине и к каждой грани примыкает не менее чем по четыре ребра.
Задача М95
На доске была начерчена трапеция, в ней была проведена средняя линия $EF$‍‍ и опущен перпендикуляр $OK$‍‍ из точки $O$‍‍ пересечения диагоналей на большее основание. Затем трапецию стёрли. Как восстановить чертёж по сохранившимся отрезкам $EF$‍‍ и…
Задача М96
Про пять положительных чисел известно, что если из суммы любых трёх из них вычесть сумму двух оставшихся, то разность будет положительной. Докажите, что произведение всех десяти таких разностей не превосходит квадрата произведения данных пяти чисел.
Задача М97
В трапеции $ABCD$‍‍ с основаниями $AB=a$‍‍ и $CD=b$‍‍ проведён отрезок $A_1B_1$‍,‍ соединяющий середины диагоналей. В полученной трапеции $A_1B_1CD$‍‍ снова проведён отрезок $A_2B_2$‍,‍ соединяющий середины диагоналей, и так далее (рис. 1). Может…
Задача М98
Докажите, что в таблице $$ \begin{array}{ccccccccc} & & & &1\\ & & &1&1&1\\ & &1&2&3&2&1\\ &1&3&6&7&6&3&1\\ .&.&.&.&.&.&.&.&., \end{array} $$ где каждое число равно сумме трёх, стоящих над ним, в каждой строке (начиная с третьей) есть чётное число. В каждой ли строке (кроме первых двух) встречается число, делящееся на три?
Задача М99
В треугольнике $ABC$‍‍ сторона $AC$‍‍ — наибольшая. Докажите, что для любой точки $M$‍‍ плоскости $AM + CM$‍‍ не меньше $BM$‍.‍ В каких случаях возможно равенство?
Задача М100
Докажите, что сумма 45 чисел $$ \tg 1\deg + \tg 5\deg+\tg 9\deg+ \ldots +\tg 173\deg+\tg 177\deg $$ равна 45.

Задачи по математике‍158