Задача М90‍‍‍

Предположим сначала, что $x_n\le n^2$‍.‍ Тогда $$ \dfrac{\sqrt{x_i-x_{i-1}}}{x_i}\le\dfrac{x_i-x_{i-1}}{x_i}=\underbrace{\dfrac1{x_i}+\dfrac1{x_i}+\ldots+\dfrac1{x_i}}_{x_i-x_{i-1}~\text{слагаемых}}. $$

Последняя сумма, очевидно, не превосходит содержащей столько же слагаемых суммы $$ \dfrac1{x_{i-1}+1}+\dfrac1{x_{i-1}+2}+\ldots+\dfrac1{x_i-1}+\dfrac1{x_i}. $$ Но тогда $$ \begin{gather*} \sum_{i=1}^{n}\dfrac{\sqrt{x_i-x_{i-1}}}{x_i}\lt\dfrac1{x_0+1}+\ldots+\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_1+1}+\ldots+\dfrac1{x_i}+\ldots\\ \ldots+\dfrac1{x_{n-1}+1}+\ldots+\dfrac1{x_n}\lt\dfrac12+\dfrac13+\ldots+\dfrac1{n^2}\lt1+\dfrac12+\dfrac13+\ldots+\dfrac1{n^2}. \end{gather*} $$

Предположим теперь, что среди чисел $x_0$‍,‍ $x_1$‍,‍ $x_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $x_n$‍‍ есть бо́льшие чем $n^2$‍.‍

Если $x_i\gt n^2$‍,‍ то $$ \dfrac{\sqrt{x_i-x_{i-1}}}{x_i}\lt\dfrac{\sqrt{x_i}}{x_i}=\dfrac1{\sqrt{x_i}}\lt\dfrac 1n. $$

Таким образом, каждое слагаемое со знаменателем $x_i$‍,‍ бо́льшим $n^2$‍,‍ меньше $\dfrac1n$‍.‍ Следовательно, сумма всех таких слагаемых (их не более чем $n$‍)‍ меньше 1. Но сумма остальных слагаемых, как уже было показано выше, меньше $\dfrac12+\dfrac13+\ldots+\dfrac1{n^2}$‍,‍ что и завершает доказательство неравенства.